페아노에 대해 질문입니다.
궁금해요(61.249)
2005-06-13 01:34
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2 := S(1) = {0,1} = {0, {0}}에는 2라는 수가 오른쪽에 없잖습니까...
따라서 formal form으로 보면 문제가 되지 않죠. 다만 언어로 표현할 때의(즉 informal form) 문제인데, 이 경우는 할 수 없이 \'둘\'이라는 언어를 쓸 수밖에 없죠.
그렇지 않음. 1은 그냥 {ø} 임. 이것을 원소가 \'하나\' 있는 집합이다 이런 식으로 해석하지 말 것.
원소가 하나 있는 집합이 아니라, ø 만을 원소로 하는 집합임.
formal form이 무슨 뜻이죠-_-; 그렇다면 어떤 집합에 원소가 몇개 있다는 식의 말은 무의미하다는 건가요?
2 := S(1) = {0,1} = {0, {0}}에는 2라는 수가 오른쪽에 없잖습니까---무슨 의미죠?
포멀 폼이 형식적인 언어 혹은 인공 언어를 말하는 거라면 어짜피 일상언어에서 제한된 의미만을 사용하는 것 같은데 그 의미가 궁금하네요. 전 2와 {0, {0}}가 동일성 관계에 있다고 보는데요.
\'formal form\' 이라는 개념이 있는 게 아니라, 그냥 \'형식적으로 정의하는데에 아무 문제가 없다\'는 뜻임. 그리고 2 와 {ø, {ø}} 은 \'동일성 관계\' 가 아니라 \'정의\'임. 쓸 데 없는 이상한 해석 갖다 붙이지 마셈.
그렇군요. 수학에서 정의는 어떤 개념인가요? 논리학에서 말하는 거랑 다른 거 같은데요
수학 용어에 익숙하지 않아서 잘 모르니 부탁드립니다. 한가지 의심은 프레게가 수학에서 a=b라는 언명에서 이러한 표현을 동일성 관계로 봤고 저 또한 동일성 문제 혹은 계사의 문제로 봤었는데 여태 헛수고 한 느낌이군요. 여하튼 그 쪽분야에 대한 전반적인 지식이 없는 사람이니 많은 조언 부탁드립니다.
(잘 모르고 하는 소리지만) 수학에서 \'XXX를 Y라고 정의한다\' 고 하는건 단순히 이름을 붙여주는 것 정도의 의미를 가지는 것 같습니다. 여기서는 {ø} 라는 집합이 있고 거기에 1이라는 이름을 붙여주는 것이죠. 우리의 상식에서의 1이라는 개념은 잠시 잊어두시고, {ø}이라는 녀석의 성질이 우리가 알고 있던 1과 같다는 것을 발견해 가시면 될 것 같습니다.
\'동일성 관계\'라는 말이 프레게가 한 말이라면, 2 와 {ø, {ø}} 이 동일성 관계에 있다는 말은 맞는 말이 됨. 그러나 그것은 \'정의\'는 항상 \'동일성 관계\' 가 되기 때문임. 즉, \'2\' 를 정의하기 전엔 \'2와 {ø, {ø}}는 동일성 관계에 있다\' 라는 말은 아무 의미도 없는 말이 됨. 정의하기 전엔 \'2\' 라는 물건은 없는 거심.
우리한테는 ø, {ø}, {ø, {ø}}, ... 이런 거 밖엔 없는 거심.... 이 가운데 {ø, {ø}} 를 \'2\' 라고 정의하면, 그 다음부터 \'2\' 와 \'{ø, {ø}}\' 가 동일성 관계에 있게 된다는 말.
그러니까 \'{ø, {ø}}\' 를 \'2\' 라고 부르는 거지, \'{ø, {ø}}\' 를 보구서 \'아, 얘가 우리가 알고 있는 2랑 같은 거구나\' 이럼 난감함(물론 의도는 그런 거지만)....
파인맛/ 잘 아시면서--; 페아노가 프레게랑 거의 같은 시대 사람인 걸 보면 집합이나 =의미를 거의 같게 쓴 것 같다는 생각이 들긴 하는데 수퍼햏 말하는 것 보면 아닌 것도 같고. 여하튼 {ø} 과 1이 같다는 거로 봐도 되겠죠? 이름 붙이기라면 man과 사람이 같은 것처럼. 만약 수학에서 말하는 정의가 이런 거라면 사실 아무런 것도 말하는 것 같지는 않군요. {ø}이라는 녀석의 성질이 우리가 알고 있던 1과 같다는 것은 이름붙이기하고는 다른 것 같은데요. 프레게나 러셀 같은 경우에는 p&-p의 성질을 가진 대상들의 집합과 등가집합의 집합을 0으로 보고 그 다음을 풀어나갑니다. 기본전제는 흄의 원리로 알려져 있는 거구요. 제가 사실 알고 싶었던 것은 {ø}이라는 녀석의 성질이 무엇이기에 수 1을 정의
한다고 하는가였고 해석하지 못하는 영문에 대해 혹시 그런 내용이 있나 궁금했답니다.
한가지 명확히 하자면, 집합을 이용한 위의 방법은 페아노가 한게 아니라 노이만이 한 겁니다.
파인맛/그렇군요. 수퍼/ 프레게가 한 것 맞구요. 그리고 동일성 문제는 사실 역사가 오래된 겁니다. 그니까 2에 대한 정의가 무엇인지 모르고 {ø, {ø}}에대한 정의가 무엇인지 모르면 당연히 둘이 같은지 모르겠죠. 그런데 =을 스면 그게 동음이의어이든 정의항과 피정의항의 관계든 같다 혹은 동일하다란 말의 뜻 아닙니까. 그게 아니면 =이 어떤 의미로 쓰인겁니까?
질문자 분께서는 페아노 공리 말씀하고 싶으신 거 같은데... 핀트가 빗나간 느낌;
소인배/1 := S(0) = {0} 가 어떤 의미인지 혹은 어떻게 해석해야 하는지 궁금해서 그런거구요. 연관해서 당시 프레게 작업이 실패하고 럿셀도 그닥 성공적이지 못했다는 평을 받는데 페아노의 공리에서 계승수 문제를 다룬다ㅗ 하기에 궁금해서요-_-;
소인배/게다가 파인맛햏께서 자연수 정의에 관해 페아노에 대해서 알려주셨거든요...파인맛훃아 정보 알려줘서 고마워요~
수퍼/ \'2\' 를 정의하기 전엔 \'2와 {ø, {ø}}는 동일성 관계에 있다\' 라는 말은 아무 의미도 없는 말이 됨. --더 간단하네요. 프레게가 =를 동일성관계로 본 것을 인정하면 그리고 정의가 동일성이면 2 := S(1) 란 말은 서로서로에 대해서 정의항이며 피정의항이네요. 정의가 같으면 바꿔써도 상관없는 거 수학에서도 적용되는 거 맞죠? 포멀 폼에 대해서 이해할 수 있게 그 맥락을 알 수 있으면 하네요. 논리학에서 형식언어는 일상언어에 대한 엄밀성 붙인 거 이외에 서로 번역이 가능하거든요. 느지막하게 조언 확인하러 오겠습니다. 다른 분들 답변도 감사드립니다.
좀 답답하구려. 어떻게 정의 자체는 모르면서 주변 지식만 많이 알고 있는지... 프레게가 뭐라고 떠들었는지, 러셀이 뭐라고 떠들었는지 관심도 없지만, 1 := {ø} 은 \'1\' 의 정의요. 이 정의 이전에 \'1\' 은 없었고 이것은 정의일 뿐 이것을 해석하겠다고 \'하나\' 라는 개념을 넣어 버리면 그 순간 모든 게 다 망가짐.
2 := S(1) 라는 것은 \'서로에 대해서 정의항\' 이 절대 아님.
\"\'2\' 가 따로 있고 \'S(1)\' 이 따로 있어서 둘이 같다\" 가 아니라, \'S(1)\' 은 공리에 의해 존재하는 것이고 이것을 우리가 \'2\' 라고 부르는(정의하는) 것임. 이 정의 이전엔 이 세상엔 \'2\' 라는 것은 없음. 오직 ø, {ø}, {ø, {ø}}, ... 이런 것만 있는 것임.
수퍼/제가 수학적 지식이 미천하니 답답하시긴 하겠네요-_-; 다른 거 따질 거 없이 간단히 말하겠습니다. 귀햏이 \" 1 := {ø} 은 \'1\' 의 정의요\"라고 했는데 1은 정의되는 것(피정의항)이고 1 := {ø}은 정의항이겠네요. 엄밀한 의미에서 정의란 개념이 피정의항과 정의항 사이에 나오지 않는 거 아시죠? 그러면 피정의항 1과 정의항에 나오는 1은 다른 의미겠네요. 그리고 1에 대한 정의가 1 := {ø}라고 할 때 그 의미가 뭐죠? 귀햏의 말 중에서 \"1은 그냥 {ø} 임\"이라는 걸 보면 1과 {ø} 는 다르지 않다고 하는 것도 같은 데 그럼 같은 거 아닌가요? 그리고 :표시가 무엇을 의미하는지 궁금하군요. 한 낱말 혹은 기호에 대한 정의는 반드시 그 성질이 피정의항의 성질과 같은 것이라고 알고
있는데요. 그리고 귀햏의 말 중에 \"\'S(1)\' 은 공리에 의해 존재하는 것이고 이것을 우리가 \'2\' 라고 부르는(정의하는) 것임\"이라고 했는데 공리에 의해 존재하는 \'S(1)이 2를 정의하는 것이면 \'S(1)은 2가 맞네요. 그리고 \'S(1) = {0,1}이니까 2랑도 같은거 아닌가요? 그리고 귀햏은 \"이 정의 이전엔 이 세상엔 \'2\' 라는 것은 없음. 오직 ø, {ø}, {ø, {ø}}, ... 이런 것만 있는 것임.\"라고 했는데 무슨 소리죠? 이성적 동물이라는 것만 있는데 사람은 없다 정도? 이왕 답답하시더라도 좀 더 쉽게 이해할 수 있음 하네요.
아 그리고 프레게 럿셀의 수에 대한 정의는 최대한 동어 반복을 피하기 위해 등가집합 개념 끌어들인 거거든요. 위에 제시된 노이만의 방법이 동어반복적인 요소가 있는 것은 아닌지 의미 자체가 잘 이해가 안가는 군요.
오타났군요-정의란 같은 의미의 개념이 피정의항과 정의항 사이에 나올 수 없습니다.
알고 있는 내용이 조금 분야가 달라서 혼동을 주고 있는 것 같습니다. 먼저 알고 계시는 내용들을 글로 정리해서 올려주시는 게 좋지 않을까 합니다. 등가집합이 뭐고 프레게와 럿셀의 정의 방법이 간략하게 어떤 것인지 소개해 주셨으면 합니다.
정의항과 피정의항부터 모르니까 지금 이러는 거죠. 1 := {ø} 에서 \':=\' 는 \'왼쪽 (사실은 :가 붙은 쪽)\' 을 \'오른쪽\' 으로 정의한다는 뜻임. 따라서 왼쪽이 피정의항이고 오른쪽이 정의항임. \"1 := {ø}은 정의항이겠네요\" 라고 했는데 이게 틀렸다는 것임. \'{ø}\' 이 정의항임. 즉 \'1\' 이라는 물건은 다름 아닌 \'{ø}\' 라는 뜻임. 그러니까 동어 반복도 아님. 동어 반복처럼 보이는 이유는 귀햏의 착각임.
제가 가진 짧은 지식 수준에서는 수학에서 \'정의\' 는 예를 들면 \'이성적 동물\' 들이 있고, (그들이 실제로 존재하는지 마는지는 관계 없이) 그러한 성질을 가지는 녀석들의 이름을 사람이라고 붙여준 것 뿐인 것으로 보입니다.
그리고 이 자연수를 구성하는 과정은 아무것도 없는 상태, 즉 논리와, 공리계와 공집합 ø 만 있는 상태에서 자연수를 만들어 내는 과정임. 그러니까 아직 만들어지지도 않은 자연수 1, 2 따위를 언급하는 것은 처음부터 말도 안되는 것임. ø 과 공리계로부터 ø, {ø}, {ø, {ø}}, ... 등등이 존재함이 쉽게 보여지고 이것들을 차례로 0, 1, 2, ... 라고 정의하는 것임. 그러니까 이게 바로 0, 1, 2, ... 의 정의임. 오케이?
그리고 이 정의를 이해하는 데에는 프레게, 러셀 등등 필요 없으니 쓸 데 없이 이상한 것 집어넣지 말길 바람. 자연수를 구성하는 방법은 여러 가지가 있을 수 있으나, 결국엔 다 그게그거인 방법이고, 서로 다른 방법을 섞어 버리면 오류투성이가 되어버림. {ø, {ø}} 이것을 원소가 \'2\' 개인 집합으로 이해하지 말길 바람.
이것은 논리의 문제이지, 수학적 지식의 문제가 아님. 이 구성을 이해하는 데에는 프레게, 러셀, 노이만 등등의 수학적/역사적 지식이 필요한 게 아님. 눈 앞에 놓은 단지 몇 개의 형식적인 정의를 이해하면 그만임. 수준으로 따지자면 고등학생도 들으면 이해할 수 있는 것임. 물론 이것을 생각해내는 것은 별개의 문제지만.
말하자면 \'1 := {ø}\' 이것은 맞는 말이지만 1 =: {ø} 이것은 틀렸다는 것임. 왜냐면 여기서 \'1\' 이 뭐냐하는 문제가 생기기 때문임. \'1\' 은 여기서 아직 정의된 적이 없는 물건이기 때문임. 그러나 오른쪽의 {ø} 는 공리계에 의해 이미 존재하는 물건임. 여기에 있는 \'1\' 을 우리가 이미 경험적으로 알고 있는 그 \'1\' 과 혼동하지 말길 바람
물론 우리가 경험적으로 알고 있는 \'1\' 을 정의하려는 것이지만, \'1\' 을 정의하는 데 있어서 우리가 모호하게 알고 있는 \'하나\', \'한 개\' 등등의 개념을 집어 넣어 버리면 안됨. 말 그대로 형식적으로 정의하려는 것임.
프레게, 러셀, 등가 집합, 동어 반복 등등 이런 거 아는 건 좋은데, 수학은 들어서 아는 지식이 많다고 되는 게 아님. 그보다는 논리적인 사고 방식에 익숙해지는 게 우선임. 지금 이 문제도 그런 배경 지식 전혀 없어도 이해할 수 있는 것이지만, 아무리 배경 지식 많아도 논리적인 구성 능력이 부족하면 아무 것도 못함.
파인맛/프레게나 럿셀은 여기서 말하건 안하건 상관없을 듯 싶습니다.
수퍼/수퍼햏이 말한 겁니다. \"{ø}\' 이 정의항임\" \'1 := {ø}\' 이것은 맞는 말이지만 1 =: {ø} 이것은 틀렸다는 것임.----아무래도 저보고 정의와 피정의 관계를 몰라서 그런 것 같다고 하는데 그런 것 같군요.
수퍼/그런데 사람을 이성적 동물이라고 정의했을 때 이 정의가 잘된거면 이성적 동물은 사람이다라고 할 수 있다고 생각해서 물론 1이란 기호에 대해 정의가 있기 전에 1이 없다고 하더라도 1이 무엇인지 정의되면 1역시{ø}를 정의할 수 있다고 생각한 겁니다. 왜냐하면 {ø}는 뭐냐?란 질문에 이건 1이다라고 말할 수 있으니까요. 게다가 사람은 이성적 동물이다라고 할 때 사람이 무엇인지 알려면 이성적 동물이 무엇인지 알아야 하듯이 1이 {ø}로 정의되면 {ø}가 의미하는 게 무엇인지 알아야 한다고 생각했을 뿐입니다. 그 공리체계에서 무엇을 의미하는 겁니까? 단지 1을 의미한다는 것은 아무런 의미가 없을 거 같은데요? 이성적 동물이 뭐냐? 사람이다. 사람은 뭐냐? 이성적 동물이다라고 하는 것은 무의미하듯이요.
스크롤의 압박;;
아무래도 댓글의 한계 때문에 두 분 사이에 소통이 잘 안되는 것 같습니다만....ㅡㅡ갠적으로는 수퍼!님께서 새 글로 잘 정리해주셨으면(저도 좀 자세히 알고 싶어요);;
리플 세줄요약 바람..;;; 힘들어요