자연수에 대한 질문 정리해서 올립니다. 많은 조언 부탁드립니다.
궁금해요(61.249)
2005-06-13 13:32
추천 0
제가 무엇을 물어보는지 명료하지 않게 질문하는 것 같아 다시 질문드립니다.
정의에 대해 먼저 말해보겠습니다.
사람이란 낱말의 정의에 대해 이성적 동물이라고 하고
이 정의항이 완벽하게 사람이라는 피정의항을 정의하는 거라고 합시다.
그러면 다음의 언명
수퍼햏은 사람이다.
수퍼햏은 이성적 동물이다.
는 같은 의미입니다.
사람은 이성적 동물이라고 할 때 그 이유는
사람이 의미하는 바와 이성적 동물이 의미하는 바가 동일하다는
혹은 같다는 것을 의미하는 것 다들 동의하시리라 생각합니다.
그리고 의미하는 바가 같은 낱말은 서로 대치되어도 의미상 변화가 없다는
것도 동의하실 것 같습니다.
그러면 그 의미를 알아야하는데 의미를 모른다면 사람과 이성적 동물이
같은지 다른지 알 수 가 없을 테니까요.
삼각형이 무엇이냐?란 질문에 눈앞에 보이는 어떤 것을 보고
이거다라고 말하는 것도 하나의 정의 방법이긴 한데
세변으로 된 다각형이라고 하는 것도 삼각형의 정의 방법입니다.
그런데 여기서 필수적인 것은 세변과 다각형이 뭔지 알고 있어야
삼각형의 의미를 알 수 있다는 겁니다.
제가 알고 싶은 것은
\'1 := {ø}‘에서 1은 피정의항이라고 할 때 {ø}가 의미하는 바입니다.
{ø}가 의미하는 바가 뭔지 모르면 여기다 이름 1을 붙이던 수퍼를 붙이던
혹은 궁금해요를 붙이던 무슨 소린지 모르니까요. 이름 붙이기야 자의적인 것
아닙니까.
그러니까 {ø}의 정의 혹은 내포적 정의를 물어보는 겁니다.
그리고 {ø}이란 기호가 말하는 바가 중학생 수준의 수학실력에서는
원소를 오직 공집합만 가지고 있는 집합 혹은 원소를 단 하나만 가지고 있는 집합
혹은 가지고 있는 원소가 하나뿐이고 그것이 공집합인 집합 등등으로
정당하게 해석될 수 있다고 보는데요.
이 방안에는 수퍼햏뿐이다란 말은 이 방에 수퍼햏 하나밖에 없다는 말
아닙니까?
그런데 그럴 수 없다고 하니 왜 그런지 이해할 수가 없군요.
그리고 수퍼햏은 “\'1 := {ø}\' 이것은 맞는 말이지만 1 =: {ø} 이것은 틀렸다는 것임”이라고 하셨는데 논리학에서 정의를 대략 다음과 같은 구조로 표현할 수 있을 듯하네요
(p-->q&r)&(q&r-->p)
p=어떤 것이 사람이다.
q=어떤 것은 이성적이다.
r=어떤 것은 동물이다.
어떤 것이 사람이라면 어떤 것은 이성적이며 동물이고
어떤 것이 이성적이고 동물이면 어떤 것은 사람이다.
고로 정의가 잘된 낱말을 가정하면 그게 피정의항이 될 수 도 있고 정의항이 될 수도
있거든요. 그런데 수퍼햏은
“1 := {ø}\' 이것은 맞는 말이지만 1 =: {ø} 이것은 틀렸다는 것임”이라고 하는데
제가 수학에서 정의항과 피정의항의 관계를 모른 것은 확실하긴 한 것 같군요.
알기 쉽게 설명해주셨으면 하네요.
두 줄 요약
{ø} 의 내포적 정의?
고등학교 수학 보다 쉽게 가르쳐주셈
시간이 없어서 짧게 설명하겠음. {ø} 를 \'원소를 오직 공집합만 갖고 있는 집합\'이라고 정의하는 것은 괜찮음.
그러나 \'원소를 단 하나만 가지고 있는 집합\' 은 틀렸음. 왜냐하면 예를 들어 {{ø}} 이것도 원소는 하나지만 {ø} ≠ {{ø}} 이기 때문.
\'가지고 있는 원소가 하나뿐이고 그것이 공집합인 집합\' 은 결국엔 틀린 말은 아니지만 자연수를 만들어 나가고 있는 지금 현재로서는 문제가 있는 정의임. 왜냐하면 지금은 \'원소의 갯수가 1개\' 라는 말을 할 수가 없는 상태이기 때문임
0, 1, 2, ... 를 정의하고 있는 지금은 \'원소의 갯수\' 라든지, \'갯수가 1개\' 이런 말 자체가 없는 상태임. 말 그대로 아무 것도 없고 논리와 공리와 ø 만 있는 상태에서 이제 막 자연수 0, 1, 2, ... 를 만들어낸 상태이기 때문
파워세트의 개념
\'1\' 을 다른 방법으로 정의하고 이게 \'{ø}\' 과 같은 것임을 보이고 싶다면 그렇게 해보시오.
\'원소를 단 하나만 가지고 있는 집합\' 은 틀렸음. 왜냐하면 예를 들어 {{ø}} 이것도 원소는 하나지만 {ø} ≠ {{ø}} 이기 때문.이라고 말하면 간단히 이해가 가잖아요-_-;
그러려면 수 체계 하나를 만드는 셈이 될 테니. 그리고 그렇게 새로이 만들어진 수 체계에서 \'1 = {ø}\' 을 보이는 것은 아마도 불가능할 것임. 그래도 하고 싶다면 일단 완전히 다 만든 다음에 주장할 것.
아직도 잘 이해 못하는구랴
\'원소를 단 하나만 가지고 있는 집합\' 이 틀린 이유는 원소를 단 하나만 가지고 있는 집합이 {ø} 말고도 무수히 많을 뿐만이 아니라, \'원소가 하나 (⇔ 원소가 \'1\' 개)\' 라는 말을 할 수가 없기 때문이기도 함.
다시 한 번 말하지만, \'원소의 갯수\' 라든지, \'1개\' 라든지 하는 말이 아직 정의가 안된 상태에서 자연수를 정의하면서 그런 말을 한다는 것은 말이 안된다는 뜻임
근데도 이해가 안가는 것은 오직 공집합을 원소로 하는 집합이란 말 자체가 오직 ~뿐인 것을 가지고 있다란 말 자체에서 수 하나라는 개념이 이미 개입되어 있다는 건데요. 오직 너밖에 없다랑 너 하나밖에 없다가 다른 의미라면 무엇이 하나밖에 없다란 말이랑 오직 무엇밖에 없다라는 말 자체가 다른 의미구조를 지닌 것이겠죠. 그런데 그런 것 같지 않군요.
지나가다 읽어봤는데 \'원소를 단 하나만 가지고 있는 집합이 {ø} 말고도 무수히 많을 뿐만이 아니라\'는 말은 \'원소를 하나만 가지고 있는 유일한 집합\'이라는 말에 대한 반론 아닌가요?
\'원소의 갯수\'라는 개념은 자연수와 함수, 1-1 대응을 정의한 다음에야 정의할 수 있는 개념임
1이 정의 돼지 않은 상태에서 원소가 하나밖에 없다는 개념이 있을 수 없다는 것과 게다가 원소하나밖에 없는 집합은 무한하기 때문에 그런거라구요?
그런데 오직 공집합을 원소로 가지고 있는 집합이란 말자체에 수개념이 들어 있다고 생각하거든요. 그래서 의문이 생긴겁니다. 오직 ( )만을 원소로 가지고 있는 집합이란 말도 적정한 정의 같지 않군요.
이런 식으로 자연수를 정의하는 데에는 \'무엇이 \'하나\'밖에 없다\' 라는 표현이 필요하지 않음. 쓸 데 없는 표현임.
제가 동어 반복이라고 의심한게 이런 면에서 입니다. 다른 말로 정의를 해야할 것 같은데요. 수퍼님이 말한 정의항에 수개념이 포함되지 않으려면.
오직 ( )만이다.란 표현도 슬모없는 표현인가요?
\'1\' 을 \'원소를 단 하나만 가지고 있는 집합\' 라고 정의할 때 발생하는 문제에는, 첫째, 그렇게 정의를 한다 하더라도 원소를 단 하나만 가지고 있는 서로 다른 집합이 무한히 많은데 어떻게 \'1\' 을 정의할 수 있느냐 하는 문제와, 둘째, \'원소의 갯수가 1개\' 라는 말이 무슨 뜻이냐 하는, 최소한 두 가지 문제가 있다는 뜻임
아 이제 이해가 가네요.
그 말은 이해하겠는데 오직 공집합을 원소로 가지고 있는 집합이란 말 자체에는 문제가 없느냐는 거죠.
오직 공집합을 원소로 가지고 있는 집합이란 말자체에 수개념은 들어 있지 않음. 대체 정의 어디에 수개념이 들어있남? 그걸 말로 해석하려고 하다 보니까 잘못 생각하게 되는 것뿐임
\'오직 공집합을 원소로 가지고 있는 집합\' 이라는 말은 아무 문제가 없음. 이것은 공리로부터 곧바로 나오는 것임. 그러니까 공리가 {ø} 의 존재성을 보장해줌
한 언명이 의미차이 없이 교환될 수 있으면 각 언명의 의미에 해당하는 개념은 치환될 수 있다고 합니다. 오직 공집합을 가진다에서 오직 무엇을 가진다라는 말의 의미를 어떻게 사용하시는거죠?
그에 해당하는 공리가 무엇입니까?
오직 이러저러한 그렇고 그런 게 있다란 말과 이저러한 그렇고 그런게 하나밖에 없다에서 오직 일나 말과 하나밖에 없다란 말은 논리학에서 양화사에 해당하는 말로 의미차이가 거의 없습니다.
저도 이러한 분석을 받아들이는 편인데 수퍼햏이 어떤 집합은 오직 공집합만을 원소로 가지고 있다라고 할 때 이 말로 무엇을 의미하는건지가 핵심적인 의문사항이군요.
\'A 가 오직 공집합을 가진다\' 라는 것은 사실은 \'x ∈ A if and only if x = ø\' 를 말로 풀어 쓴 것임. 엄밀히는 \'x ∈ A if and only if x = ø\' 이렇게 쓰는 게 맞음. 그러나 그 표현이 꽤 적절하므로 그러한 것을 의미하는 것으로 약속하기로 하면 그런 표현을 쓸 수 있는 것임
이것을 보장해주는 공리는, 공리계에 따라서 다를 수 있는데, 보통 \'Axiom of Pair\' 라고 부르는 공리를 사용함. 내용은 대충 \'∀ a, b, ∃ c such that x ∈ c if and only if x = a or x = b\' 이런 것임.
여기에 Axiom of Existence, 즉 \'There exists a set which has no element\' 를 쓰고 \'Axiom of Extensionality ⇔ (a = b ⇔ (x ∈ a ⇔ x ∈ b))\' 를 써서 그러한 집합이 유일함을 보인다음, 이걸 공집합이라고 부르고 ø 로 나타낸 다음 Axiom of Pair 를 써서 (a = b = ø) {ø} 가 존재함을 보이는 것임
사실 {ø} 이것은 그렇게 존재하는 집합을 나타내는 기호임
오. 감사! 이따가 보고 생각해보고 질문드리죠. 잠시 외출하겠습니다^^;
일단 제가 수퍼햏이 써주신 기호를 분석하는 데 숙련이 필요할 것 같아 다른 말은 별로 하지 않겠습니다.
단 제가 전제하는 것은 수퍼햏이 \"사실 {ø} 이것은 그렇게 존재하는 집합을 나타내는 기호임\"이라고 할 때 어떤 것에 대해 의미있게 진술하기 위해 꼭 필요한 개념 자체는 한 언명의 의미에 이미 전제되어 있어야 한다는 것입니다. 이것, 존재한다 그리고 하나와 같은 개념 등등 말이죠. 일단 제가 의미론에 대해 부족한 면도 많고 수퍼햏이 기호로 표현한 {ø}의 정의 정도 이해할 실력되면 다시 물어볼께요.
참고로 공리에 나온 \'There exists a set which has no element\' 는 ( ∃x)Ax라는 의미형식을 지닌 것으로 대략 파악이 되는데 제 이해로는 이미 수개념이 포함되어 있는 것 같군요. 여하튼 답변 감사드립니다^^