적률은 추정량이라는 것을 구하는 여러 공식 중 하나이다.

적률법 외에 우도법, 베이즈법, 최소제곱법이 있다.

적률의 용도이자 목적은 모수없이 "평균과 분산 추출" 이다.

적률은 칼피어슨이 제안하였다.

칼피어슨은 표본에서 바로 평균이나 분산을 구하는 방법을 연구했다.

이론적 근거는 대수의 법칙이다.


적률이 왜 "어느 한순간 = 모멘트"라는 것인가


칼피어슨은 모집단 분포를 몰라도 대표값(평균)과 산포값(분산)을 얻을 수 없을까 연구했다.

칼피어슨 제안 이후 적률 계산에 라플라스 변환이라는 기법을 적용했다.

라플라스 변환이란 방정식을 곱셈으로 바꾸는 기법이다.

로그라는 기법이 곱셈을 덧셈으로 바꾸었듯이 라플라스변환은 어려운 미적분 방정식을 간단한 곱셈으로 바꾸는 기법이다.


라플라스 변환 식을 모방한 적률모함수(적률생성함수) 식은 exp[tX] 이다.

X는 변수이고 t는 시간으로 0 이상의 실수이다.

t=0이라는 것은 정지된 한 순간을 말한다.

전원을 끈 순간도 t가 0이고 엘베가 꼭대기에 정지해 있는 것도 t가 0이다.

통계에서는 표본을 수집한 그 순간이 t=0이 된다.

통계는 스냅 사진처럼 어느 한 순간을 촬영한 것이기 때문이다.

표본추출은 어느 한 순간 만을 추출한 것이기에 시간은 t=0이 되는 것이다.

표본추출을 한 그 순간은 시간이 정지된 것으로 간주된다.

물론, 사회조사나 생존분석처럼 장시간 관찰한 것도 있으나 그 관찰이 끝나는 시점에서 보면 장시간 관찰도 t=0으로 간주 할 수 있다.

이것이 f(x)*exp(tX)를 미분 후 t에 0을 넣는 이유이다.


이러한 이유로 적률은 모멘트(순간)이다. 적률은 모멘트(질량*거리)가 아니다.


요약

적률은 모수없이 평균과 분산을 알아내는 추정량 기법이다.

적률은 물리학의 모멘트(질량*거리)와 관련이 없다. 단, 물리학이 오래된 과학이므로 물리학 관점의 설명은 필요하다.

적률생성함수 f(x)*exp(tX)를 미분후 t=0을 넣는 이유는 표본이 어느 한 순간의 정지된 상태로 간주되기 때문이다.


참고)

통계는 스냅사진이다. 그래서 미래를 정확히 알 수 없다.

가령 20층 고층 아파트에서 떨어지는 사람의 스냅 사진을 찍었다고 결과가 꼭 비극적인 것은 아니다.

실제로 고층에서 장난치다가 차량 위로 떨어졌지만 살아 난 중학생도 있었다.

그래서 구간추정을 필요로 한다.