출처 : 타오의 해석학 1권
자연수의 교환법칙을 알아보자
교환법칙이란 n+m=m+n으로 자리를 바꾸어 더해도 두 결과는 같다는 법칙이다.
왜 이런 당연한 질문을 하는가?
1234와 0001234 는 같은데 1234000 와 0001234는 왜 다른지 설명해야 하기 때문이다.
혹자는 각 자리수에 값이 지정되었기 때문이라고 할 것이나
수학은 엄밀해야 하므로 이런 간단한 것조차 증명의 단계가 필요하다.
보조정리 A : n+0=n 이다.
보조정리 B : n+(m+1)=(n+m)+1 이다.
(예 3+(4+1)=(3+4)+1 = 8)
1. 보조정리 A에 의해 n이나 m 둘 중 아무거나 0이면 n+m=m+n는 성립한다.
(예 0+m=m+0 => 0+9=9+0 성립)
2. 보조정리 B를 적용하여
n=0, m=9
n+(m+1)=(n+m)+1
(n+1)+(m+1)=((n+1)+m)+1
(0+1)+(m+1)=((0+1)+m)+1
(1)+(m+1)=(1+m)+1
(1)+(9+1)=(1+9)+1 = 11
따라서, 0과 1이 참이므로 귀납법에 따라 나머지도 참이된다.
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