어느 지역 날씨의 천이행렬이 다음과 같다고 가정


0.7 0.2 0.1

0.1 0.5 0.4

0.3 0.1 0.6



선형연립방정식 풀기



π₁ + π₂ + π₃ = 1

0.7π₁ + 0.1π₂ + 0.3π₃ = π₁  

0.2π₁ + 0.5π₂ + 0.1π₃ = π₂  

0.1π₁ + 0.4π₂ + 0.6π₃ = π₃


π₁ + π₂ + π₃ = 1        (식 ①)

0.7π₁ + 0.1π₂ + 0.3π₃ = π₁   (식 ②)  

0.2π₁ + 0.5π₂ + 0.1π₃ = π₂   (식 ③)  

0.1π₁ + 0.4π₂ + 0.6π₃ = π₃   (식 ④)



(0.7π₁ + 0.1π₂ + 0.3π₃) - π₁ = 0  

➡ -0.3π₁ + 0.1π₂ + 0.3π₃ = 0      (식 ②')


(0.2π₁ + 0.5π₂ + 0.1π₃) - π₂ = 0  

➡  0.2π₁ - 0.5π₂ + 0.1π₃ = 0      (식 ③')


(0.1π₁ + 0.4π₂ + 0.6π₃) - π₃ = 0  

➡  0.1π₁ + 0.4π₂ - 0.4π₃ = 0      (식 ④')




식 ②을 π₁에 대해 정리

-0.3π₁ + 0.1π₂ + 0.3π₃ = 0  

-0.3π₁ = -0.1π₂ - 0.3π₃  

π₁ = (0.1/0.3)π₂ + (0.3/0.3)π₃  

➡ π₁ = (1/3)π₂ + π₃



식 ③'에 대입

0.2π₁ - 0.5π₂ + 0.1π₃ = 0

0.2[(1/3)π₂ + π₃] - 0.5π₂ + 0.1π₃ = 0

0.2/3π₂ + 0.2π₃ - 0.5π₂ + 0.1π₃ = 0

0.2/3π₂- 1.5/3π₂ + 0.3π₃ = 0

-1.3/3π₂  + 0.3π₃ = 0

π₂에 대해 정리하면,

-1.3/3π₂  = - 0.3π₃

1.3/3π₂  =  0.3π₃

1.3/3π₂  =  0.3π₃

➡π₂  =  0.6923π₃


다시 π₁ 구하기

π₁ = (1/3)π₂ + π₃

π₁ = (1/3)(0.6923π₃) + π₃

π₁ = 0.2308π₃ + π₃

➡π₁ = 1.2308π₃


합이 1인 조건을 적용

π₁ + π₂ + π₃ = 1

1.2308π₃ + 0.6923π₃ + π₃ = 1

(1.2308+0.6923+1)π₃ = 1

(2.9231)π₃ = 1

π₃ = 1/2.9231

π₃ = 0.3421


➡π₁ = 1.2308π₃

➡π₂  =  0.6923π₃


➡π₁ = 1.2308*0.3421

➡π₂  =  0.6923*0.3421


➡π₁ = 0.4210

➡π₂ = 0.2368

➡π₃ = 0.3421



출처 : 매트랩코드와 함께하는 마르코프 체인 몬테카를로 - 이효남

출처 : 쳇지피티





18b3c42ff1de3da220afd8b236ef203e2776b76b58abef43