무한급수 0.9999... != 1 증명 (0.999...는 1이 아니라는 증명)
지금까지의 증명은 다음과 같다.
x= 0.9999...
10x=9.9999...
10x = 9.999
-)x = 0.999
------------
9x = 9
그러므로 x=1 이라고 증명 하였다.
위 증명의 문제점은 9.999 - 0.999 가 9라는 결과가 나온다는 가정이다.
9라는 결론을 내려고 무한급수의 정의인 "같은 항에서 빼야 한다"는 정의를 위배했다.
이것을 구조변경이라고 한다.
즉, 기존 증명은 무한급수의 구조를 변경한 오류가 있다.
10배를 하여도 9.999의 첫 자리 9는 0.999의 첫자리 9와 같다.
즉 같은 항이다. 두 9는 단순히 자리이동을 한 것 뿐이다.
그런데 뺄때는 항을 하나씩 엇갈리게 하였다.
그러므로 "항을 엇갈리게 빼기"한 것이 무한급수의 정의에 맞지 않으므로 위 증명은 잘못된 증명이다.
그 증거로 기존 위와 같은 방식(항을 엇갈리게 빼기)인데도 다른 결과가 나온다는 점을 보이겠다.
0.999...의 각 자리 9를 분수로 바꾸어 보자
소수를 분수로 바꾸는 것은 초등학교에서 배운다.
바꾸는데 아무 문제가 없다.
각 자리를 분수로 바꾸면
x= 0+9/10 + 9/100+ 9/1000+... 이고
10x= 9 + 9/10+ 9/100 +... 가 되어
10x= 9 + 9/10+ 9/100 + 9/1000 +...
-)x= 9/10 + 9/100+ 9/1000 +...
---------------------------------------------
기존 증명과 같이 같은 자리 항을 빼면
9x=9-(9/10) + 9/10 - (9/100) + 9/100 - (9/1000) + 9/1000 - (9/10000) + ...
이 된다.
9x = 9-(9/10) + 9/10-(9/100) + 9/100-(9/1000) + ... 의 분모를 맞추면
9x = (90/10)-(9/10) + 90/100-(9/100) + 90/1000-(9/1000) + ... 이 되고 정렬하면
9x = 81/10 + 81/100 + 81/1000+ ... 가 됨
81=9*9로 바꿀 수 있으므로
9x = 9*9/10 + 9*9/100 + 9*9/1000+ ... 가 됨
좌우를 9로 약분하면
x = 9/10 + 9/100 + 9/1000+ ... 가 되고 정리하면
x = 0.999...가 됨
x는 원래의 0.99999가 나오므로
0.9999... 는 계속 0.9999 이지 결코 1이 아님
10x= 9 + 9/10+ 9/100 + 9/1000 +...
-)x= 0+9/10 + 9/100+ 9/1000 +...
에서 같은 값(9/10 - 9/10)을 안 빼는 게 모순 같아 보인다고?
모순 맞음. 무한급수의 정의에 따라 같은 항을 빼야 함
근데 기존 증명이 이미 해당 오류를 범했음
그러므로 0.999... != 1 임이 증명된 것
요약
0.999=1의 증명에서 같은 항을 빼지 않은 점이 오류이다.
결론
두 결과 중 어느 것이 맞는가?
통계에서도 서로 다른 두 결론이 나오는 경우가 허다하다.
둘 중 하나를 선택해야 한다.
이럴 때는 각 계산이 공통의 수학적 정의를 따랐는지 보면 된다.
(통계에서는 가정이 맞는지 따지면 된다. 통계에서의 가정은 말 그대로 가짜로 정한 것 이다)
공통가정인 무한급수의 정의를 다시 따져보자
무한급수의 정의1 : 같은 항을 빼야한다.
무한급수의 정의2 : 무한히 늘어선 항은 인덱스를 “한 칸씩 밀어서”도 여전히 무한하다.
기존 0.999=1 증명은 정의2는 맞추었으나 정의1은 못 맞추었다.(위배)
그러나 0.999!=1 증명은 정의1,2를 모두 맞추었다.(충족)
그러므로 증명 0.999!=1가 옳다는 것이 바른 결론이다.
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