sin(x^2)/x^2을 0에서 무한대까지 적분하는 문제임. 변수를 두개로 나눠서 leibniz rule로 Ca^(1/2) 꼴인 걸 구했는데 문제는 이 C를 정해줄만한 경계조건이 바로 안보인다.
컨투어로 구할 수 있는지는 아직 시도해 보지 않았는데 다른 아이디어나 저런 물리적 상황이 나오는 예시를 알고 있으면 알려줬으면 같이 토론해보고 싶다
컨투어로 구할 수 있는지는 아직 시도해 보지 않았는데 다른 아이디어나 저런 물리적 상황이 나오는 예시를 알고 있으면 알려줬으면 같이 토론해보고 싶다
부분적분 한번 하면 0부터 무한대까지 cos(x^2) 적분에 두 배 한게 되니 이 적분을 구하면 되는데, 이건 e^(-z^2)를 적당히 contour integral하면 얻을 수 있음. 구체적으로는 원점을 중심으로 R, Re^(i*pi/4)를 꼭짓점으로 하는 부채꼴을 따라 적분하면 됨
저거 바로는 컨투어로 안됨? sinx/x랑 sin^2x/x^2은 수물하면서 컨투어로 계산한 기억이 나는데
일단 땡쓰. 오후엔 일이 좀 있어서 지금 답글담. 그렇게 해서 컨투어를 쓰면 될거 같긴한데, 물린이 말처럼 바로 컨투어를 쓰지는 못할까? 일단 나는 ax^2으로 변수 두개 나눈뒤에 a에 대한 미분방정식으로 시도를 해보고 있거든.. 이걸로도 풀린다고 하길래 근데 잘 안나오는중
댓글을 좀 늦게 봤다.. 다른 방법이 있나 해보긴 했는데 그냥 처음 풀이대로 부분적분 한 번 하는게 제일 깔끔한 거 같음. 처음부터 contour integral을 같은 경로로 한 다음에 Fubini thm을 쓰는 trick을 쓸 수도 있는데 이게 더 복잡하고, Leibniz rule을 쓴다 해도 어차피 cos(x^2)의 적분값을 알아야 할 거 같은데.
ㅇㅇ 맞다.. 어떻게해도 cos(x^2)적분이 걸림돌임... 라이프니츠 룰 써서 위 형태를 얻더라도 C를 정하려면 저 값을 알아야 하겠더라.. 문제는 이 문제가 파인만이 강의한 수리물리 강의노트에서 나오는 문제인데 컨투어는 이 숙제 다음다음 강의차에 소개되더라
아마도 파인만은 cos(x^2)의 적분값을 컨투어를 안쓰고 직접 구한거 같은데.. 이후 강의노트 보면서 파인만이 해설해둔게 있으면 여기에도 올릴게. 일단 확실한건 컨투어 뿐이긴 한듯
일단 contour integral을 쓰지 않는 것 자체가 목적이면 방법이야 많음. 꽤 복잡해서 그렇지.. Leibniz rule을 쓴 다음(사실 이것도 integrand를 미분한 함수의 적분이 절대수렴하지 않아서 바로 쓸 수 없겠지만 일단 넘어가고) 예를 들어
https://math.stackexchange.com/questions/187729/evaluating-int-0-infty-sin-x2-dx-with-real-methods
처럼 계산하면 됨
ㅋㅋㅋ 진짜 꽤 복잡하네.. 어쨌든 고마움. 그런데 저런 방식이라면 sin(x^3)/x^3 처럼 지수를 2승 이상으로 바꿨을때는 컨투어 말곤 방법이 없겠지?
https://math.stackexchange.com/questions/453811/integral-of-int-limits-0-infty-frac-sin-xn-xndx
보면 Gamma function을 거쳐서 값을 알 순 있긴 한데 복소를 거치지 않고는 힘들지 않을까
일단 가능한 방법을 전부다 한번씩 해보긴 해야겠음. 복소적분이 확실히 강력한 테크닉이긴 하구나..
여기에 댓글을 다시 달아도 볼지는 모르겠지만.. 일단 자취방 짐정리하면서 틈틈히 해본 결과 소개해둔 방법 외로도 구할 수 있긴 하더라. 결국 이것도 치환적분이고 감마펑션하고 관계가 있겠지만. 파인만이 풀렀던 방법은 없고.. 라이프니츠 룰과 부분적분을 반복 사용하면, 간단한 형태에서 e^(-ax)*x^(1/2+n)꼴의 적분을 알려주는 식을 발견할 수 있고
그 적분을 구하는 공식에 sin (bx^2)을 나타내게 e^ibx^2이런걸 넣어서 구하고자 하는식의 a b에 대한 식의 a에 대한 미분 형태를 찾을 수 있었음..이걸 계산해 보니 실제로 cos(x^2)이 sqrt(pi/8)인게 나왔고 이 값을 그대로 부분적분 형태에 넣어서 구했다. 시간이 생기면 앞에 있는거랑 정리해서 올려보려고..물론 완전 물리학도라서
엄밀성은 가져다 버렸지