안녕하세요. 통계 비전공자이지만, 열심히 독학하고 있는데, 한 가지 의문점이 생겨 질문 남깁니다.
기댓값의 대표적인 성질이 선형성입니다.
선생님들도 아시다싶이
E(a1X1 + a2X2 + ... + anXn) = a1E(X1) + a2E(X2) + ... + anE(Xn) 입니다. (단, ai는 상수, Xi는 확률변수)
그런데 기댓값 구하는 것이 결국 적분을 하는 것이고, 이를 위해서는 각 확률변수의 joint pdf가 존재해야 하는데, {X1, X2,.. Xn}의 joint pdf가 항상 존재한다고 말할 수 있을까요? 아니면 기댓값의 선형성을 말할 때는 암묵적으로 확률변수들의 joint pdf가 존재한다고 가정을 하는 것인가요?
그러니까 결국 제가 여쭙고 싶은 문제의 요지가 각 확률변수의 marginal pdf가 주어졌을 때 이를 합쳐서 joint pdf를 구할 수 있는지 입니다. joint pdf에서 marginal pdf 구하는 방법은 잘 나오는데 그 역은 찾을 수가 없네요.
고진선처 부탁드립니다.
기초 확률론을 배워보셨으면 들어보셨을것 같기도 한데, 확률변수의 pdf가 늘 존재할 필요는 없어요. 확률변수가 discrete할 때, 아주 간단하게 동전의 앞면이 나오면 0 뒷면이 나오면 1 인 확률변수가 있다고 했을때, 이 확률변수는 pmf 만 있지 pdf는 없겠죠?
그치만 이 확률변수도 기대값은 구할 수 있어요. 다른말로 얘기하면 기댓값을 구하기 위해서 pdf가 반드시 존재할 필요는 없습니다. 간단하지만 부족한 설명으로는 이산확률변수일 때는 더하고 연속확률변수일 때는 적분을 하구요, 좀더 어려운 설명으로는 주어진 cdf로 스틸체스 적분을 하면 되고, 좀더 일반적인 설명으로는 주어진 확률측도에 대해서 르벡적분으로 하면 됩니다.
두번째 질문에 대해서는, marginal distribution을 다 알아도 joint distribution을 특정 지을수는 없습니다. 특수한 경우로 두 변수가 독립이라면 그냥 곱하면 되겠지만, 그 이외의 경우에 대해서는 일반적으로는 구할 수 없어요.
선생님, 답변 정말 감사합니다. 제가 홀로 연속확률분포라고 가정하고 'pdf가 항상 존재하는가?' 라고 여쭤봤었네요. 이때문에 제 의도가 잘못 전달된 듯 합니다. 선생님 말씀대로 이산확률변수에서는 pmf로 기댓값을 구하는 것이 맞겠지요. 제가 의도했던 질문은 다변수 확률변수의 기댓값의 선형성 등의 성질을 따질 때 각 확률변수들의 joint pmf 혹은 joint pdf가 주어졌다고 가정하는 것인지를 여쭙고 싶었습니다. 예를 들어 X1,X2...Xn의 n개의 확률변수가 각각의 분포와 함께 주어졌다고 해도 선생님 말씀대로 이들의 joint pmf/ joint pdf는 구할 수가 없습니다.
헌데 E(a1X1+ a2X2 + ... + anXn) = a1E(X1) + a2E(X2) + ... + anE(Xn) 이런 정리(성질)을 따지려면 당연히 좌변의 존재성을 따져야하고 좌변이 존재하기 위해서는 당연히 n개의 확률변수에 대한 joint pmf or joint pdf가 존재해야 할 것입니다. 제가 여쭙고 싶은게 과연 이런 정리를 언급할 때는 joint pmf or pdf가 주어졌다고 가정을 하는 것인지를 여쭙고자 이 질문글을 올렸습니다. n개 확룔변수의 확률분포를 안다고 해서 joint pmf or pdf를 구할 수는 없으니까 말입니다.
제 의도가 잘 전달되었으면 좋겠습니다. 다시한번 감사하다는 말씀 드립니다.
결국 제가 여쭙고 싶은게 다변수 확률변수의 선형성이 아니고, n개의 서로다른 확률변수가 주어지고 각각 변수의 분포까지 주어졌으나 joint pmf or pdf는 주어지지 않은 상태에서 ,E(a1X1+ a2X2 + ... anXn)이 하나의 특정값으로 결정되는 지, 만약 joint pm(d)f가 주어지지 않아서 직접 계산은 못한다면 이를 a1E(X1) + a2E(X2) + ... + anE(Xn)으로 바꿔 계산할 수 있는지? 입니다.
X1 ... Xn 이라는 확률변수가 있다고 한 순간부터 joint distribution function은 존재해야 합니다. 때문에 좌변이 정의가 안될 걱정은 안하셔도 돼요. 마자막에 말씀하신 각각 변수의 distribution은 주어졌으나 joint distribution은 주어지지 않은 상태라고 함은, 실제로 joint distribution은 존재하나 주어진 조건으로는 알수 없고, 각 변수의 marginal distribution만 주어진 상태로 이해해야 할 것 같아요. 때문에 기대값의 선형성 역시 joint distribution을 모른다고 하더라도 사용할 수 있습니다.
pmf pdf라는 표현을 사용하지 않은것은 pmf와 pdf가 둘다 존재하지 않는 확률변수들이 있어서 그렇습니다. 참고만 해주세요.
선생님의 통계 지식에 정말로 감탄 하였습니다. 역시 통계학이라는 학문은 제가 생각한 것보다 이상으로 훨씬 정교하군요. 부족함을 느끼고 더욱 열심히 공부해야겠습니다. 답변 해주셔서 정말 감사드립니다. 좋은 하루 보내십시오ㅎㅎ