(수학갤러리에도 동일한 글을 올렸습니다. 중복된 글로 불편하신 분들이 계시다면 죄송하다는 말씀 먼저 드립니다.)
저는 통계학과 학생입니다. 수학 증명이나 정리에 나오는 식들을 하나하나 따라가며 그 의미를 잘 찾는 방법이 있을까요?
미분적분학에서는 갑자기 예를 들기 힘들어 그냥 수통내용으로 이야기를 해보겠습니다.
MLE라는 함수를 볼 때, 아무리아무리 봐도 저 세타의 최대값을 내는 x의 값들이 가능성이 제일 높은지를 이해하기 힘들었습니다.
사이트를 찾고찾다보니 f(xi,theta)의 곱들로(i=1,..,n)이루어진 함수인 L(theta)는 함수하나하나의 높이를 의미하고 있었고, '가능성이 제일높다'라는 말은 밀도의 값 즉, 높이들의 값을 곱한 값이 제일 크다. 라는 말과 같은 것이었죠.
이런게 MLE의 본질 개념이구나. 그 이후 '그렇다면 가능성이라는 척도를 높이의 곱이아닌 덧셈으로 하면 안될까?'라는 생각이 들기도 했습니다.(할게 많아 깊이 생각은 못했지만)
이와 마찬가지로 긴 증명이나 식들을 보면서 그 의미를 찾는 데 시간을 많이 쓰고 있습니다. 이런 공부방법이 효과적인지 궁금합니다.
그리고 저는 이런 생각들을 '직관'으로 정의내렸는데 찾다보니 제가 생각한 직관과는 조금 달랐습니다. 저는 아이언맨이 3d로 펼치면서 문제를 해결하는 장면처럼, 머릿속에 마인드맵을 그리고 이 분포와 이분포의 관계는 어떤지, 이 증명들이 어떤 의미들을 갖고 실생활에 어떻게 쓰일 수 있는지에 대한 안목이 직관이라 생각했습니다. 그런데 수학관련 글이나 영화를 보면 직관은 그냥 보자마자 딱 떠오르는? 천재적인? 뭐 그런 느낌으로 쓰이더라구요..
글이 길었습니다만, 이러한 식의 의미?(아마 통계&경제관련 과이기에 의미에 대한 중요성을 크게 두는 것 같습니다.)를 찾으려면 어떻게 공부하는 것이 옳을까요? 또 제가 직관이란 단어로 오해했는데, 이런 식의 의미(or 찾는 행위)를 보통 무엇이라 부르나요?(다른 사이트나 원서를 찾아보려합니다.)
잘하고 계신듯 나는 헬조선식 증명 문제풀이만 해서 이런 생각으로 전환하는 게 너무 힘들었음 대학원 이상 가려면 느리더라도 반드시 이렇게 공부해야함 - dc App
106.102님 글쓴이입니다. 긴 댓글 정말정말 감사합니다. 툭 터넣고 이런 이야기를 할 대상이 많이 없어 힘들었는데 조금은 힘이 되는 것 같습니다..ㅎㅎ 대학원을 준비하고 있는데요, 벌써 3학년이다 보니 조금 급한것 같습니다. 말씀하신 느리더라도 반드시 이렇게 공부를 하려면, 적어도 대학원에는 들어갈 보장이 있어야 하는데 지방대이고 학점도 썩좋은편은 아니라 마음만 엄청 급해지네요..ㅎㅎ 저는 천재적인 머리가 아닌걸 넘어 머리가 많이 나쁜편이라, 직관과 통찰을 많이 생각해도 못얻을때가 많습니다. 증명조차 이해하지 못하니 수통을, 수학을 공부하는 내내 마음이 답답하네요..ㅠㅠ
그래도 작성해주신 댓글덕에 많은 도움 되었습니다. 조금은 답답한것들이 풀리는거 같네요 감사합니다.
이렇게 글쓴이처럼 직관&통찰력을 기르려면... 나도 사실 이걸 못해서 계속 피보는데. 가장 좋은건 참교육당하는거고 아니면 님처럼 계속 파고들고 생각해보는거같음 돈오돈수가 되면 너무 좋겠지만 나는 가우스같은 천재가 아니라 븅신이니까 - dc App
가령 베이지안에서 왜 conjugate prior를 쓸 수밖에 없는지, (분포가 같으니까는 성질이지 이유가 아님) 왜 추천 알고리즘은 사인이 아니라 코사인 유사도인지, 수통에서 너무 괴롭게 배운 R-B Estimator가 도대체 왜 중요한지. 현업에서 일해보면 수통에서의 고민 하나하나가 내공으로 가는 거 같음 - dc App
번외로 MLE가 합이 아니라 곱인 이유는 확률의 곱셈정리지 덧셈정리가 아니니까. or이 아니라 and 조건이잖아. - dc App
3blue 1brown 같은 유튜브나 다른 자료들을 참고하는 것도 방법 중에 하나인거 같습니다
영어 공부도 많이 해야겠네요 좋은 채널 추천해주셔서 감사합니다!
로그 씌우면 곱셈이 덧셈이됨 그래서 likelihood도 당연히 정의하기에 따라 덧셈으로 볼수 잇음 ㄹㅇ ㅋㅋ
직관이 당연히 중요한게, 이게 ㅈㄴ 간단할때는 뭐 대충 노가다로 계산해보고 확인할수 있는경우도 있는데, 나중가면 직관이 되는지 확인해봐야되는 경우도 있고, 직관과 비슷한 성질을 가지는것들이 '좋은거'기도 하고, 직관으로 그냥 넘어갈수 있는부분도 있고, 여러모로 당연히 도움은 되는듯
혼자가 직관을 키우는 연습을 하는 것도 좋지만 보다 정확한 이해를 위해서는 그 개념이 처음 등장한 논문들을 읽으면 좋아. MLE는 Fisher가 가장 효율적인 estimator라고 강력하게 주장했던 개념이고 나중에 LeCam이 Fisher의 생각이 어떻게 수정되어야 하는 지를 밝히면서 어느 정도 마무리되 (LeCam (1953), “On some asymptotic properties of maximum likelihood estimates and related Bayes’ estimates”,)
요지는 어떤 개념도 하늘에서 떨어진게 아니고 누군가가 고민해서 만든 것이란 걸 염두 해보라는 거야. 처음 그 개념을 제시한 사람이 어떤 맥락에서 그 개념을 만들었나를 살펴보고 당대의 사람들이 그 개념들에 대한 어떻게 비평했나를 보면 직관을 키우는데 도움이 될꺼야.
아직 학부생이면 논문을 다 이해하긴 어렵겠지만 abstract이랑 intro 정도만 읽어도 맥락을 파악하는데 도움이 될꺼야. 정말 깊이 알고 싶으면 대학원에서 논문 읽는 훈련을 받는게 효율적이고.
영어 좀 하면 crashcourse 에서 좀 다루는거 같고 한국어는 오터의 통계 추천 직관적으로 이해하는법을 배우게됨