[일반] g(X) h(Y)의 독립성?

[익명(175.223)]

random variable X, Y가 서로 독립일때 g(X), h(Y)도 서로 독립이다

이거 증명은 어떤식으로 접근하면될지 간단하게 힌트좀 주실수있나요

[익명(164.125)]

한 번에 증명하려고 하지 말고 →, ← 따로따로 증명해보셈

[익명(164.125)]

(→): X,Y가 독립이라고 가정하면 f(x,y) = f(x)f(y) 이고 f(x) = g(x), f(y) = h(y) 라고 두면 성립

[익명(164.125)]

(←): f(x,y) = g(x)h(y)라고 가정하면 f(x) = ∫f(x,y)dy = ∫g(x)h(y)dy = g(x)∫h(y)dy 에서 ∫h(y)dy = c 라고 두면 f(x) = cg(x) 같은 방식으로 하면 f(y) = dh(y) 1 = ∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫g(x)h(y)dxdy = ∫g(x)dx ∫h(y)dy = cd ∴f(x,y) = g(x)h(y) = cdg(x)h(y) (cd = 1이므로) = f(x)f(y) (f(x) = cg(x), f(y) = dh(y) 이므로)

[익명(164.125)]

내 설명으로도 잘 모르겠으면 수통 책 뒤져보거나 구글링 해보셈

[익명(175.223)]

한번찾아볼게요 감사감사

[익명(dlwlrms)]

pdf가 존재하는 변수들이면 저런식으로 간단하게 하면 되고 pdf는 일반적인 경우는 원래 characteristic function같은거 쓰는게 젤 간단할겅미

[J(205.154)]

가장 간단한 증명법은 X 와 Y가 독립 <=> P(A, B) = P(A)P(B) for all A in sigma(X), B in sigma(Y) => P(A, B) = P(A)P(B) for all A in sigma(g(X)), B in sigma(h(Y)) <=> g(X) 와 h(Y)가 독립