문제: show that the mean squared error convergence implies the convergence of the second moments.
이 문제를
Xn converges in L^2 to X
-> Xn converges in probability to X
-> Xn^2 converges in probability to X^2 (by Continuous Mapping Theorem)_
-> Xn^2 converges in distribution to X^2
-> (by definition of convergence in distribution) E[Xn^2] converges to E(X^2)
이렇게 풀어도 될까요?
다른건다맞는데 마지막꺼는 bounded조건 없으면 안되지않나 (DCT) - dc App
아 그것도 그렇네요.. f(x)=x가 bounded 하질 않네요 마지막 줄을 어떻게 해결할 수 있는 방법이 있을까요??
그런데 convergence in probability하면 convergence in distribution 하니까.. 괜찮지 않나요?
p 수렴하는데 second moment가 수렴 안하는 반례가 있을거 같은데
걍 코시슈바르츠랑 L2 norm 연속성 이용하면되는거아님?
어떻게요..?
https://math.stackexchange.com/questions/475133/when-does-convergence-in-lp-imply-convergence-of-the-p-th-moment