슬러츠키 정리가 Xn이 constant c로 확률수렴하고, Yn이 Y로 분포수렴하면 Xn, Yn 사칙연산이 가능하다는 얘기잖아요.
1. 여기서 확률수렴 Xn이 c로 확률수렴하는 게 아니라 확률변수 X로 수렴한다면 이때도 Xn + Yn ->d X+Y 가 가능한 건가요?(->d는 분포수렴 입니다)
2.1과 마찬기자로 만약 Xn ->p X 이고 Yn ->p Y (X와 Y는 확률변수입니다) 라면 Xn + Yn ->p X + Y 가 가능한 건가요?
제가 질문 올린 것에 해답을 얻을 수 있는 참고자료 같은 게 있으면 공유 좀 부탁드립니다 ㅠㅠ
1. 불가능. 간단하게 다변량 정규분포 케이스만 봐도 두 확률변수가 독립이 아니면, X Y 각각은 일변량 정규분포지만 X+Y는 정규분포가 아님. 2. 불가능. 확률수렴 뿐만 아니라 "상수"로 수렴하는 게 중요함. - dc App
1은 이해했습니다. 2에서 그럼 Xn과 Yn이 확률변수가 아닌 상수 c1, c2로 확률수렴한다면 Xn + Yn ->p c1 + c2가 되는 거죠? 그런데 그럼 Xn ->p X(확률변수)이고 Yn ->p Y(확률변수)일 때 Xn + Yn ->p X + Y가 성립하지 않는 counterexample이 뭐가 있을까요..?
둘 다 상수일 필욘 없는데 하나는 상수로 수렴해야함. - dc App
그런데 Xn이랑 Yn이 확률변수로 X, Y로 확률수렴할 때 사칙연산이 안 된다는 게 잘 이해가 안 되네요.. 혹시 참고할 수 있는 사이트나 링크가 있을까요..?
위키백과만 가도 있음 - dc App
https://math.stackexchange.com/questions/2665208/conditions-for-convergence-in-probability-of-a-sum
이런 글 보면 된다는 것 같아서요..
아 내가 잘못 말했다 ㅈㅅ CMT에 따르면 sum, product 가능함. 2번은 가능함 - dc App
해석학에서 점별수렴하고 균등수렴 성질이 그대로 적용된다 보면 됨 - dc App
아 그렇군요 감사합니다!
P수렴 as 수렴 이런건 엥간하면 되는데 분포수렴이 좀 거지같아서 잘 안되는건데 그거 가끔 되게 만들어주는게 슬러츠키나 cmt같은거임 - dc App