수업시간에 교수님께서 cramer-wold device 소개해주고 이걸 clt랑 엮어서 많이 사용한다고 얘기하시곤 그냥 넘어가셨는데
기출 문제보니까 이걸 써야하는 문제가 있더라고요...
답안을 보며 생각해보니까 만약에 X1, ..., Xn가 iid로 N(mu, sigma^2)를 따른다고 했을 때
CLT 그냥 적용하면 sqrt(n)*(Xbar - E(X)) ->d N(0, Var(X)) 이잖아요?
근데 만약 X = (X1i X2i)' 와 같이 확률변수가 벡터로 주어졌을 때
Cramer-wold device 사용해서 sqrt(n)*(Xbar - E(X)) ->d N(0, Var(X))와 같이 벡터에 대해서도
확률변수 하나 주어졌을 때랑 똑같이 CLT를 쓸 수 있다는 소린가요?
Cramer-wold device가 무슨 의미인지 정확히 모르겠네요..
확률벡터가 분포수렴하면 그거의 선형결합인 확률변수가 분포수렴하는거는 cmt로 성립. 근데 과연 역 또한 성립할까? 만약 역이 성립하면 복잡하게 벡터의 분포수렴을 joint cdf같은거 고려하지 않고, 편하게 특정 일변수인 확률변수로 훨씬 다루기 쉬워지니까.... - dc App
아 cramer-wold device 정리 내용에 따르면 그 역이 성립한다는 거니까.. 확률벡터도 확률변수처럼 그냥 clt 써도 된다는 게 결국 정리의 내용인가요?
clt는 cramer wold가 적용가능한 한가지 예시인거고 그냥 윗사람 말처럼 확률벡터의 d수렴을 볼때 선형결합들의 d수렴만 보면 된다는 내용임
제가 명확하게 이해가 안 돼서 그런데.. clt도 선형결합으로 볼 수 있는 건가요?
벡터에 대한 clt를 보이고 싶을때 정의대로 따라가려면 portmanteau 같은거 써서 이상한 짓을 해야될텐데, cramer wold를 쓰면 벡터가 아니고 그 벡터의 선형결합인 실수 확률변수의 수렴만 보이면 되고, 이건 1차원 clt면 되니까 - dc App
한마디로 말하면 1차원 clt를 백터 clt로 확장할때 유용하게 쓸수 있겠죠 - dc App