편의상 X, Y 모두 연속형 r.v.라 가정하겠습니다.
E(Y|X)가 정의에 의해 integral로 나타내면 y가 적분돼서 사라지고 x가 남으면 이건 r.v. X에 대한 함수 g(X)가 아니라 그냥 일반변수(?) x에 대한 함수 g(x)가 돼야하는게 아닌가요?
돠주세요~
E(Y|X)가 정의에 의해 integral로 나타내면 y가 적분돼서 사라지고 x가 남으면 이건 r.v. X에 대한 함수 g(X)가 아니라 그냥 일반변수(?) x에 대한 함수 g(x)가 돼야하는게 아닌가요?
돠주세요~
Let g(x) = E_Y( Y | X=x ). E_Y( Y | X=1 ) = g(1), E_Y( Y | X=2 ) = g(2), ... E_Y( Y | X=k ) = g(k).
질문이랑 어떤 연관이 있는지 잘 모르겠어요 ㅠ
random variable의 정의 자체가 sample space에서 R로 가는 (measurable) function임을 생각해보시면 이해가실거에요
답변 감사합니다, 그런데 r.v.가 실함수인 건 알고있는데 저기서 어떻게 연결시켜야되는지는 감이 안오네요 ㅠ. measurable이 중요한가요? 찾아보니 측도론에 나오는 거 같은데 안배워서 잘 모르겠네요. 혹시 사진에서 처음 틀린 부분이 어딘지 알려주실수 있을까요?
conditional expectation 자체가 random variable이라는 의미에서 한 얘기였습니다.
사진에서는 그냥 맨위쪽에서 small x에 대해 conditioning 한다는 부분이 nonsense에요
작성자 입니다. 노트북이라 ip가 다릅니다. 말씀하신 small x에 대해 conditioning 하는 notation은 전명식, hogg craig 수통에 나와있습니다. 제가 이해하기에 E(Y|x)는 E(Y|X=x)를 편하게 줄여서 쓰는 것 같습니다. 전명식 수통 66p에 이중 기댓값 정리에 대한 내용 중 이런 내용이 있습니다. 조건부 기댓값 E(Y|X=x)는 x에 대한 함수이므로, 이를 g(x)=E(Y|X=x)라고 표현할 수 있다. 이때 함수 g(x)의 x 대신에 확률변수 X를 사용한 g(X)=E(Y|X)는 역시 확률변수이다. 저는 이걸 이렇게 이해했습니다. 조건부 기댓값인 E(Y|X=x)는 확률변수가 아닌 x에 대한 함수 g(x)이고, 여기 x를 확률변수 X로 바꾼 g(X)=E(Y|X)는
확률변수가 된다. conditional expectation 자체가 r.v.라고 하셨는데 전자인 E(Y|X=x)는 확률변수가 아닌 게 맞지 않나요?
E[Y|X] 가 Z(w) = E[Y|X=w] 인 random variable Z를 나타내는 노테이션입니다.
오 뭔가 이해한 거 같아요. 그렇게 적어주시니 E[Y|X]가 좀 더 새롭게 보이네요. 그러니까 제 사진에서, E[Y|x]=E[Y|X=x]=integral로 나타낸 것은 정의에 의해 맞지만, E[Y|X]를 integral로 나타낸 것이 틀린 게 맞죠? E[Y|X] 자체가 그냥 r.v.이니깐요. hogg E[E(Y|X)], VAR[E(Y|X)] 증명에서 integral로 풀고 다시 기댓값으로 나타내는데, 언제는 E[~|x]가 되고 언제는 E[~|X]가 되고 잘 이해가 안됐는데 이제 정리가 됐네요. 번거롭게 계속 질문 드렸는데 다 답해주셔서 넘 감사해요~
아 시바 잠만 위에거 다시 읽어보니까 헛소리했네요 ㅈㅅㅈㅅ 밤샜더니 제정신이 아닌듯
Z(w) = E[Y|X(w)=x] 가 맞음
https://adembo.su.domains/stat-310b/lnotes.pdf
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