머 전통적인 정의상 틀린말은 아닌데 좀 본질에서 벗어난 말꼬리잡기에 가깝다고생각함
추정통계학에서 표본을 추출하는 이유는 모수를 추정하기 위해서고
개별의 표본들 하나하나가 전부 정규분포에 근사했는지안했는지는 내알빠가아님
표본의 크기(n) x 표집횟수(N)가 충분한 크기(30) 이상인지 아닌지가 중요함
다시말해 표본크기가 n=30인 표본을 N=1번 추출한것과 표본크기가 n=2인 표본을 N=15번 추출한것은 둘다 표본평균이 정규분포에 근사하고 모수를 추정하는데 아무런 차이가 없음
결론적으로 저는 머법관 빙의해서 "표본의 크기는 분포에 영향을 끼치고 표집횟수는 정확성" ㅇㅈㄹ하는건 좀 편협한 이해라고 생각하고
중심극한정리는 i.i.d 가정을 만족하는 "확률변수"가 충분히 표본에 많이 더해졌는지 이런 관점에서 접근해야한다생각함
응애뉴비학부생이라 반박대환영
그냥 잘못이해하고 있는거 같은데. 중심극한정리 식을 보면 알겠지만(위키백과 등 참고) n이 커졌을때 표준정규분포로 분포수렴한다는 걸 알 수 있음. N이 아니라. 현실적으도 n이 아니라 N이 커져야 한다는 말이 개소리인 이유는 만약 그게 참이라면 한 번하는 여론조사는 죄다 믿을 수 없는 헛소리가 되어버림.
모수 추정도 동일하다고? 지금 바빠서 계산은 못해보지만, 분산 차이는 꽤날텐데? 대충 10000개 정도 난수 만들어서 시뮬레이션 해봐. n자체를 적게 뽑으면 분산 자체가 지랄나는걸 확인할 수 있을거임
n말고 N이 커져야한다는 소리가 절대 아니라 n*N 이 동일할때 표본평균이 정규분포로 동일하게 근사한다는거임 다시말해 한 번 크게 하는 여론조사를 표본수를 1/10로 나눈뒤 열번 추출하는거랑 검정력에 차이가 없다는뜻
절대 검정력이 같을리 없어. 왜냐면 그 두 케이스의 분산이 다르게 나올텐데 어떻게 검정 테스트 결과가 똑같겠어. 표본 평균의 분산은 모분산/n이라는 것에서 알 수 있듯이, n이 작아지면 표본 평균 분산 자체도 커짐. N키워서 표본 분산을 다시 평균 분산 내봤자 n이 컸을때의 결과와 같을 수가 없음
그리고 다시 한번 말하지만, 표본이 정규분포로 간다는 것의 이론적 배경인 중심극한정리는 N자체와 아무런 상관이 없음. 확률수렴이나 분포수렴이나 n이 커졌을때 얘기인거지 N얘기는 안나론다. 헷갈리면 수통책 확인 ㄱㄱ
표본의 크기라는게 결국엔 i.i.d. 가정을 따르는 동일한 확률분포로부터 추출된 샘플의 개수를 의미하는거 아님? 그럼 100개의 샘플을 한번 추출한거랑 10개의 샘플을 10번 추출한거랑 본질적으로 표본의 크기가 다르다고 말할 수 있음?
착각하고 있는데, 우리가 지금 분포라고 얘기하는 것은 표본평균이라는 "확률변수"의 분포임. 니가 말한 두 케이스는 표본 수 자체는 같지만 확률 변수는 다름. 첫번째는 샘플링 100개로 만든 확률 변수 한개고, 두번째는 샘플링 10개로 만든 확률 변수 10개임.
첫번째를 X1, 두번째를 X2라고 하면 두 분포는 평균은 같을 지언정, 분산은 상이한 다른분포를 가지게됨. 서로 다른 분포를 가지는데 같은 확률 변수라고 할 순 없겠지?
예아 시뮬레이션돌렷을땐 어쨋든 평균은 동일하게 나오길래 분산은 신경안썼는데 확실히 둘이 검정력이 동일하다는건 개소리맞는거같음
근데 결과적으론 추정하려는 모평균은 첫번째두번째간에 유의미한 차이가 없는것같으니 분산이 튀건말건 상관없는거아님? 사회과학쪽 예시를 함 생각해보자면 상담원 한명한테 10000명을 조사하라시키면 노동청에서 잡아가니 상담원 100명을 고용해서 100명을 조사하라고시키는거임
마지막 질문은 ㅈㄴ 멍청한 소리니 기초 통계책 다시 봐라. 검정할때 평균만으로 하는게 있는지 없는지.
그리고 니 예시는 그냥 n이 10000인 거랑 동일함. N은 이벤트의 반복수지. 네가 예시로 든건 방법에 차이는 있을지언정 만명을 조사하는 이벤트 한번임.(랜덤 추출 등이 유지된다는 가정하에) 저게 샘플링 100명짜리 100번 반복이라고 주장하고 싶다면 저 100명의 상담원이 각각 평균 내고 분산내서 각각 추정한다는 설명이 있어야함
일단 요지는 잘 알아들엇음 마지막댓은 좀 정신나가서한소리가맞는거같고 학기중에 적률법도 나갈거같으니 부트스트랩인가뭔가랑 거기까지훑고다시돌아오겟음 댕청한학부생을 상대해준거에대해감사 악!!!!!
평균을낼때 몇개의 표본에대한 평균이냐가 중요하지. n=2인 표본평균 15개랑 n=30인 표본평균 1개랑은 다른거다. 정규성을 띄는지는 n이 중요한거고 N은 단지 부트스트랩 원리랑 유사하게 정확성관점에서 보는게 맞다고 보여진다. - dc App
부.... 부트스트랩이머노........
정규분포가 중요한 건, 정규분포 가정 하에서 우리가 일반적으로 알고 있는 보편적인 가설검정 테스트들이 가능하기 때문임. N을 키우면 글쓴이 말대로 표본평균의 분포를 알 수 있지만, 그게 정규분포냐?랑은 다른 얘기인거지. 고등학교 때 예시로 배운 것처럼 집합 간단하게 정의해놓고 n=2 정도로 샘플 뽑아봐. - dc App
페북 글쓴이가 말하자고하는건 종합하자면 N을 냅두고 n을 키우면 표본평균이 분명 정규분포에 근사하겟지만 그 분포를 확인하기가힘들고 n을 냅두고 N을 키우면 표본평균의 분포를 확인하긴 편하겟지만 그게 정규분포에 근사한다고 장담할수업다는말같은데... 내가 말하고 싶었던건 표본의 크기가 커질수록 표본 평균의 분포가 정규분포를 따른다면, 역으로 표본의 크기가 충분치 않다 하더라도 표집횟수가 늘어나면 표본평균분포가 정규분포에 근사하지않을가하는 추론이엇음 아몰랑
그냥 N은 좆도 상관없어 그냥 펜대 굴리는 걸로 이해가 안 그면 코드를 짜서 눈으로 확인을 해봐
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이것은 문과스러운 접근
학부책에 나오는 적률생성함수를 이용한 (MGF가 존재한다는 가정하에) CLT 증명과정만 봐도 알 수 있음. n이 커져야 표본평균의 MGF를 테일러 전개 했을때 고등학교때 배우는 lim(1+(x/n))^n=e^x 라는 식을 이용할 수 있고 표본평균의 MGF가 정규분포의 MGF로 근사된다는 것을 볼 수 있음. n이 중요하고 N은 증명에 있지도 않음
N은 CLT와 관련없지만 대신 N을 많이 늘린다는건 각 추출된 표본들의 평균들을 많이 구했으니 그 정보들을 histogram으로 펼쳐본다면 각 추출된 표본들을 n개로 통일했을때의 표본평균의 분포가 얼마나 정규분포와 가까운가를 볼 수는 있겠지. 예를들어 어떤 모분포들은 너무 skewness가 심해서 n=30으로 해도 표본평균의 분포가 정규분포로 근사가 안되는 경우가 있는데 그런 경우는 시뮬레이션을 이용해 N을 키워서 표본평균의 분포가 정규분포와 얼마나 먼지 혹은 가까운지를 확인해볼 수 있음. 표본평균의 분포 모양이 정규분포와 상당히 '멀다면' n을 더 키워야겠지
쪽팔리기때문에 본글을 상당히 지우고싶지만 후학과 본인의 학습동기부여를위해 눈물을머금고그러지않겟음
이러면서 배우는거임. 오히려 통계갤을 처음 방문하는 통계에 대해 모르거나 잘못 이해하는 다른 사람들도 이런 글, 댓글 읽으면서 새롭게 배울 수 있음. 난 오히려 끈질기게 토론한 결과로서 나온 결론이 더 값어치 있다 생각함. 그냥 선생이 학생 가르치는 것마냥 받아드리는 것보다 학생이 선생에게 계속 질문해서 선생으로 하여금 자신의 주장을 변호하게끔 해야 더 많이 더 제대로 배울 수 있다 생각함. 물론 토론할때 원색적으로 비난하는 사람들은 그냥 무시하셈. 가끔씩 감정적으로 반박하는 사람들도 있지만 마음속에 담아두지 말고 유용한 정보만 빼가면 됨. 익명성으로부터 오는 원색적, 감정적인 댓글에 자기 감정소비할 필요없음
샘플이 복원추출이냐 비복원추출이냐에 따라 네 말이 옳고 다른거 아냐? 매 시행 자체는 복원 추출이더라도, 한 번 샘플 추출 할 당시에는 n개를 한번에 추출하니까 본문의 말이 맞는거같긴 한데
댓글을 처음부터 쭉 읽어봐
나 너랑 의견 같은데?
그니까 n개를 추출해서 평균내면서 값이 뭉뚱그려지잖아
지금 이건 복원추출 비복원추출이랑 하등의 관계가 없는데? random sample이란 게 뭔지 다시 이해를 하고 오는 게 좋을 것 같음
내가 잘못 이해한 걸 수도 있는데, 복원추출 여부가 중요하지 않아? 그래서 중심극한정리의 기본 전제가 복원추출이었던 거 같은데... 물론 n의 크기는 그 샘플을 몇개 단위로 묶느냐의 문제라서 (샘플이 더 큰 단위로 묶일수록 모수의 평균으로 근사할 확률이 올라가니까) 표본평균의 모양이 정규분포화 되는데에 하는데 영향을 주고ㅇㅇ 어차피 극한에 수렴한다는 말 자체가 비복원추출이면 말이 안되는 개념이기도 하고? 핵심적으로 n값은, 샘플을 평균화하는 과정(어찌보면 자료의 차원을 낮추는거니까)에서 생긴다고 보는데, 그거랑 별개로 쟤가 헷갈리는 이유는 n x N이 같으면 개별 추출 횟수가 같다고 생각해서 헷갈린게 아닌가 싶어서리
왜냐면 비복원 추출이면 sample을 추출할 때마다 random이 아니라 확정된 sample이 나올 수밖에 없음.. 모집단은 보통 유한하니까 추출이 반복될수록 미세하게라도 모집단 수는 작아지니까 random이 아니라고 생각하는것...이긴한데 그냥 나의 생각이라 네가 맞을수도!
그니까 본인이 지금 random sample에 대해 완전히 잘못 이해하고 있는게 맞음 지금 공 10개 들어있는 주머니에서 몇 개 뽑고 그런 문제가 아님
그럼 너가 말하는 random sample이 정확히 뭘 말하는거야?
너가 말하는 random sample이 정확히 뭘 의미하고, 그게 왜 복원/비복원이랑 하등 관계가 없는지 정확히 설명해줘야 하는 거 아닌가.. 무작정 아니야 아니야 하면 내가 어디부터 짚어봐야될 지 감이 안잡히거든
모집단 내에서 무작위로 샘플을 추출하는 경우로 그 결과 얻은 데이터를 Simple ramdom sample(단순임의표본)이라고 한다. 중복 추출이 가능하도록 추출한 샘플을 다시 모집단에 포함시키는 것을 복원 추출(with replacement) 한번 뽑은 샘플은 추후 샘플링에 사용하지 않는 것을 비복원 추출(without replacement)라고 한다. -- 즉 무작위 복원/무작위 비복원 추출이 있을 수 있고. 내가 말하는 건 n x N 값이 같을 때, 비복원 추출이면 어쨌든 모집단에서 추출된 수는 일정하고 (n x N개), 그러므로 n으로 몇개를 묶던 결국 한 덩어리의 샘플을 뽑아서 몇개로 나눈 뒤 평균을 내느냐의 문제라서 글쓴이의 말도 일견 일리는 있지 않냐는거임.
근데 중심극한정리는 너무나 분명하게 복원추출을 전제로 하고 있단 말임. 왜냐면 각 N번의 시행이 독립시행이고 사실 이래야 극한으로 값을 보내어서 수렴값을 살펴볼 수 있는거잖아 (모집단은 유한한데 무한한 비복원 추출이 가능할리가 없으니까) 여기까지가 내가 이해한 건데, 어느 부분에서 내가 random sample을 잘못 이해했고 n x N의 문제가 왜 복원/비복원 추출과 무관한지 좀 더 자세히 말해줄 수 있을까?
그리고 내가 말하는 본문이라는거는 오하이오의 낚시꾼님이 말하는 내용을 말하는거지, 글쓴이가 쓴 본문이 아님
CLT는 복원추출을 전제로 하는게 맞음. 30개의 평균을 낸다고 하면 하나 뽑고 기록하고 다시 집어넣고 섞고 또 하나 뽑고를 30번 반복한 후 평균을 내는거임. 비복원추출로 하는 순간 모집단에서 원소 한개가 없어지니 독립성 가정이 깨져버림. 그래서 CLT에서 '비복원추출'로 할 때 1가지 조건이 더 붙는거임: '표본크기가 모집단의 10퍼센트를 넘으면 안된다' 하지만 현실에서는 n=30이상만 되어도 정규분포와 비슷해지는 경우가 많고 모집단의 크기가 30과 비교도 안되게 큰 경우가 많기 때문에 복원/비복원을 크게 신경안쓰는 거임
보통 추론통계에서 모수추정을 위한 여러가지 통계량 분포들의 이론적 개념을 배울때 설명을 간단히 하기 위해서 superpopulation이라는 이상적인 개념을 도입해서 모집단이 무한이라고 가정을 함. 하지만 현실적으로 모집단은 유한하기 때문에 비복원추출시에는 유한한 모집단을 고려해주는 FPC (Finite Population Correction)항이 들어가야함. 표본평균의 분포의 기댓값은 복원/비복원추출 상관없이 모평균과 같음. 하지만 표본평균의 분포의 표준편차에서 차이가 생김
복원추출시에는 표본평균의 분포의 표준편차는 잘 알다시피 sigma/n^(1/2)임 근데 비복원추출시에는 (복원추출시의) 표준편차 앞에 FPC항이 곱해짐. FPC항은 ((N-n)/(N-1))^(1/2) 인데 모집단은 유한하기에 N은 고정되어있다고 보면 (비복원추출시) n이 커질수록 FPC항이 커져서 표준편차가 커져버림 반대로 N이 무한대로 가버리면 (n에 비해 N이 너무 커지니까) FPC항이 1로 가기에 복원/비복원추출간에 차이가 없어지는거임
걍 이거는 n의 의미가, n개를 잡아서 높이를 똑같게 딱 압착한다음(평균) 그 높이를 쓰겠다는 거라서... '평균'값에 그 이유가 있다고 봄 n의 갯수가 클수록 당연히 표본 평균은 모집단의 평균에 가까워지고 (일종의 대수의 법칙처럼) 그래서 대충 표본이 30개쯤 되면 모집단의 형태랑 상관없이 샘플은 모집단의 대표값 근처(그러니까 모집단의 구성형태)에 옹기종기 모여있게 된다는 거 같음. 이게 나는 의미가 있다고 본 건, 모집단의 크기 자체보다 표본의 갯수가 30개라는 절대적 수치와, np=5라는 어느정도 가이드라인 덕분에 이론적으로가 아니라 어느정도 실제로 사용할 수 있는 이론으로서 의미가 있다는 거 아닐까 싶긴 함... 물론 논리적으로 허점이 많을 수도 있는데 나는 그냥 그렇게 이해했던 기억이 남
여기서 내가 '모집단의 구성형태'라고 말하는 거는.. 사실 평균이라는 말을 쓸 때 우리가 무심결에 값이 실수라는걸 전제하는데, 사실은 측정 대상이 norminal이더라도 마찬가지이지 않을까 싶은거지. 평균이 어떤 실수의 형태로 수렴하지 않을 뿐이지, 여전히 샘플의 크기가 커지면 샘플의 그 구성형태는 모집단의 실제 구성형태와 비슷해질 수밖에 없고, 추출이 반복되면 그 구성형태들에서 가장 반복되는 패턴은 모집단의 구성형태랑 비슷해지는 중심극한정리가 성립될 수밖에 없다고 봤기 때문임
글쓴이고 위에 댓단건 내가 아님..... 아이피가 다르면 다른 사람이라 가정하는걸 추천.... 일단 쓴 내용은 굉장히 잘 읽엇음. 글의 중심 논지였던 n*N이 어째서 틀렸는지에 대해 가장 직관적인 설명이엇음. 윗댓에서 먼저 말한대로 애초에 중심극한정리에서 같은 분포를 따르는 확률변수들이 서로 독립이려면 당연히 복원추출을 전제할수밖에 없음. 표본공간이 변하지 않는 독립사건이기때문에 내가 말한 n*N만 같으면되지않냐도 자연스레 반박됨.
한가지 의문점이 있는게, 만일 중심극한정리가 복원추출을 전제한다면 300명씩 한번 추출한 샘플이 30번씩 10번 추출한 샘플들 보다 모집단의 평균을 잘 추정할수 있음? 내가 처음부터 집중하고싶었던건 중심극한정리의 엄밀한 정의라기보단 중심극한정리를 이용해서 모수를 추정하는 법이었음. 300명씩 한번 추출한 샘플은 엄밀히 말하면 복원추출이 아니기 때문에 오차가 발생함.
복원추출을 전제한 i.i.d.를 따르는 확률변수들의 평균은 모평균과 완벽히 동일하지만, 표본갯수가 1이고 크기가 300인 샘플의 평균은 정의상 모집단의 평균과 일치하지 않음. 물론 표본평균들의 평균이 모집단의 평균과 수렴하겠지만, 모집단의 평균과 결코 동일하다고는 말할수 없음
일단 복원 추출 가지고 오차 생길 정도로 모집단 수가 적으면, 걍 모집단 전부 추출해서 평균 내면 그만임. 통계는 기본적으로 모집단의 수가 너무 크거나, 그걸 모두 조사하기에는 너무 비싸기 때문에 일부를 샘플링 해서 모집단의 성질을 알아내기 위해 발전한 학문임. 고딩때 배우는 공 뽑기 이런게 아니면 복원 추출 비복원 추출이 크게 영향을 미치기도 어렵고, 만약 영향을 미치는 특수한 경우를 찾고 싶으면 초기하 분포 등 관련된 분포가 또 있음. 그리고 저 윗댓에서 얘기해주듯이 FPC항 이런것도 있고
그리고 300명씩 한 번 추출한 샘플이랑 30명씩 10번 추출한 샘플들 평균 물어봤는데, 저렇게 나눠서 뽑을때 각 시행의 횟수가 같고 전체 합계가 한 번 뽑을때랑 같으면 300명 한번 추출 표본 평균 = 30명 표본평균들의 평균임. 두개가 동일한 데이터가 뽑혔다고 생각하고 식 만들어봐. 그냥 아예 같은 걸 확인할 수 있음. 그리고 저렇게 나눠서 뽑을때 차이가 생기는 부분은 분산이고, 단순히 표본 평균을 뽑느게 아니라 검정을 한다면 차이가 생길 수 밖에 없음
바로 윗 댓글에도 적었지만 비복원추출을 가정한다면 CLT를 사용할때 표본크기가 모집단의 크기의 10%를 넘으면 문제가 생김. 근데 일반적인 사회현상에서는 표본크기가 모집단의 크기의 10%를 넘는 경우가 많이 없고 10%를 넘지 않는다면 비복원/복원추출간의 차이가 많이 나지 않기에 큰 무리없이 기본적인 CLT를 적용할 수 있음. 300명을 비복원추출 한다고 하더라도 전체 모집단 크기가 백만 단위라면 복원추출과 거의 차이가 없겠지
이거 어느 커뮤니티야?
그리고 위의 본문 내가 했던 고민하고 너무 똑같아서 신기하다 성장하는 모습 보기 좋아
페북인듯?
감사합미다 이걸로 당분간의 의문점들은 대부분 해결된듯
윗댓에서 중심극한정리를 이용해서 모수를 추정하는 법에 대해 궁금했다고 하니 내 생각을 말해봄. 질문이 300명씩 한번 추출한 샘플이 30명씩 10번 추출한 샘플들 보다 모집단의 평균을 잘 추정할수 있음? 이라고 했는데 이건 데이터에 따라 달라짐. 일단 원하는 유의수준과 검정력에 따라 수집하고자 하는 n의 크기가 달라진다는 건 알고 있겠고… n이 계속 커지면 표본평균의 분포의 분산이 계속 작아지긴 하지만 현실적으로는 비용 때문에, 그리고 모집단의 크기에 비해 표본크기가 너무 커지면 비복원 추출로 인해 편차가 커질 수 밖에 없는 등 여러 현실적인 문제로 n을 무조건 키울 수도 없음
일단 샘플 30명으로 CLT가 충분히 성립된다면 (다른 실험계획법적인 이유가 있지 않는한) 여러 번 추출 할 필요도 없을 뿐더러 굳이 표본을 300명으로 억지로 늘릴 필요도 없음. 300명으로 늘리면서 생기는 비용+오류가 300명으로 늘렸을 때 생기는 정확도(?)의 향상으로 얻는 이득보다 크다면 그냥 30명으로 해야지. 서울시 여론조사를 위해 천만 인구 중 샘플로 5000명만 해도 충분한데 굳이 몇십만명까지 늘리지 않는 것과 마찬가지.
참고로 CLT로 인해 30명 샘플이 사실상 정규분포가 된다면 30명씩 10번 뽑는 것의 표본평균과 표본분산은 300명 샘플의 표본평균, 표본분산과 사실상 같아짐. 다시말해 CLT로 인해 정규분포가 될 시 사실상 둘 사이의 차이는 없음. 이건 기초통계학에서 배운 내용인 서로 독립인 두개의 정규분포의 덧셈의 분포를 직접 계산해 보면 알거임. 문제는 각 표본의 크기가 너무 작아 CLT를 만족하기 위한 최소한의 n에 도달하지 못했을때임
극단적인 예로 샘플을 한 개씩 엄청 많이 추출한뒤 그것에 대해 평균을 내면 큰 수의 법칙으로 인해 모평균과 비슷해짐. 마찬가지로 샘플 30명씩 10번 추출한 것들의 평균은 샘플 300명의 평균의 기댓값=모평균과 비슷해질거임. 문제는 분포의 형태에서 오는 분산의 차이임. 거기에서 30명을 10번씩 뽑는게 나은지 300명을 1번 뽑는게 나은지가 판가름나는거임. 이건 데이터의 형태에 따라 달라지니 시뮬레이션을 돌려봐야겠지.
예를들어 Skewness가 너무 심해 샘플 30명의 평균의 분포마저도 정규분포를 따르지 않고 skewness가 심할경우 우리가 알고 있는 기존적인 z-test나 t-test를 사용할 수 없고 이렇게 되면 30명씩 10번 추출하더라도 300명씩 1번 추출한 것과 그 평균의 분포의 형태가 많이 달라질 수 밖에 없음. 그래서 CLT로 정규분포에 근사하게 하는 최소한의 n(표본의 크기)을 먼저 구하는게 중요한거임. 그리고 CLT를 충촉한다면 다른 표본추출/실험계획적 이유가 있지 않는 이상 N (표본의 개수)을 키울 필요는 없는거고
깔끔한 설명 감사함 내가 교수랑 두시간 상담해도 이 게시글 하나에서보다 얻어갈 수 있는게 많지는 않을듯
와 그래도 학부생이 이렇게 과감하게 자기 생각 던지면서 공부하려는거 되게 보기좋다
댓글 왤케많냐