행렬이 idempotent고 symmetric이면 projection matrix라고 하잖아
근데 내가 알기로 어떤 벡터에 행렬을 곱하는건 선형변환을 하는거라고 봐도 된다고 알고있거든
그러면 어떤 벡터 y에 projection matrix H를 곱하는건 y를 어떤 방식으로 선형변환 한다는건데
그럼 여기서 idempotent함과 symmetric함이 어떤 맥락에서 적용되는거임?
강의에서는 그냥 정의랑 증명 정도만 하고 넘어가고 이 성질들이 어떤 의미를 가져서 저 두 성질을 가지면 proj인지는 언급을 안해서 궁금함
선형대수학을 너무 오래전에 배워서 까먹었는데, 그냥 projection matrix의 필요충분조건이 idempotent, symmetric인 거 아님? 내 뇌피셜이니까 걸러들어...
아니면 필요충분조건이 아니라 그냥 projection matrix의 충분조건일 수도 있음. 이건 뭐 수학에서 그렇다니까 뭐라 할 말이 없어보이는데
H가 멱등이라고 하자, 그러면 H=HH 잖아? 이걸 선형변환 관점에서 보면 y를 Hy로 한번 선형변환 시키면 그 이후로는 H(Hy)=(HH)y=Hy 가 그대로 나오게 됨 이게 무슨얘기냐면 H라는 선형변환은 벡터를 H의 열공간으로 보내는 놈이고 이미 H의 열공간에 속해있는 벡터들은 H로 변환해봤자 그대로일 수 밖에 없다는 뜻 - dc App
개인적으로 projection을 이해한 맥락은 그림자를 내리는 거로 생각했음 어떤 벽이 있고 거기에 막대기(y)가 비스듬히 꽂혀있다고 상상해봐, 벽에 수직하도록 손전등을 비추면 막대기의 그림자(Hy)가 벽에 생기겠지? 그림자가 놓여진 위치 그대로 어떤 막대기를 가져다 놓으면, 벽에 붙어있는 막대기가 될 거고 거기에 아무리 손전등을 비추어봤자 그림자는 막대기와 같을 뿐(HHy=Hy) - dc App
근데 symmetric이라는 조건은 붙을 필요가 없던거로 기억하는데.... pma 에서는 멱등행렬을 아예 projection으로 부르고 있음 대칭 조건 없이. 아마도 통계학에서 사용되는 멱등행렬들이 대칭행렬인 경우가 대부분이라 그런 맥락에서 말했을 것 같긴 한데, 아닐수도 있음 projection을 엄밀하게 정의해둔걸 본적이 없어서 - dc App