X가 연속R.V.일 때 X가 특정 값일 확률은 0이 되죠.

근데 예를 들어, X~U(0,1)이고 실제로 추출을 했더니 0.123456 이라는 숫자가 나왔다고 가정하겠습니다.
근데 P(X=0.123456)=0이죠. 확률이 0인 사건이 발생한 겁니다.

연속확률변수가 특정 값을 가질 확률은 0이라는 것과 추출하면 어떠한 특정 값을 가지게 된다는 건 모순되지 않나요?


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공부하기 싫어서 대충 끄적여봄. 


결론부터 말하자면 모순되지 않음. 댓글에 119.197은 맞고, 117.111은 틀렸음.


내 생각엔 다들 고등학교 확률에 찌들어서 생기는 문제 같은데, 고등학교에서는 확률을 개같이 정의하기 때문임.

고등학교 확률 정의는 경우의 수를 활용해서 일어날 경우의 수/전체 경우의 수 라고 정의해버리는데, 이건 discrete random variable에만 국한된다. conti도 배우긴 하는데 normal 하나로 존나 대충배우지. 


어찌되었건 대충 설명해주겠다.


확률이라고 하는건 집합(확률만 얘기하자면 event)의 크기다. 수학에서 집합의 크기를 잡아주는 함수를 우리는 measure라고 하고 continuous random variable은 그 중에서 Lebesgue measure랑 연관이 존나 깊다. 얘는 실수의 부분집합을 받아서 걔의 크기를 보는데 예를 들자면 mu([a,b]) = b-a 라고 거리로 잡는거임. 근데 특징중 하나가 countable한 집합을 여기다 때려넣으면 0임. mu(Q) = 0 (Q는 유리수). 당연히 mu({a,b,c,d}) 얘도 0임. 이것과 연관되서 X가 continuous r.v면 P(X=a)는 a가 뭐건 간에 0임. 그렇게 연속형 확률변수가 정의가 되는거다. 참고로 저거 쓴 게이가 든 예시가 U(0,1)인데 얘는 걍 probability measure가 르벡이랑 똑같음. 그렇기 때문에 X=a 라고 하는 event가 발생할수는 있어도 확률값은 0이다. 


첨언하면 117.111이 말하는 뭐 확률이 0이 아니라 0에 가까운 작은 수다 라고 하는 건 틀렸다. 만약에 어떤 포인트에 0만큼 아주 작은 확률값을 할당했다면, 다른 애들도 그만큼 다 할당해야 될텐데 그럼 전체 공간의 확률이 무한으로 가버려서 말이 안된다.


글쓴게이가 해결됐다고 했지만 내가 이렇게 구구절절 설명하는 이유는 이게 존나게 좋은 질문이기 때문임. 존나 대충썼지만 위에말이 조금이라도 받아들여지면 이제 니들은 almost surely라는 걸 이해할 수 있다. 이게 뭔지 자세히 알고 싶다면 대학원 ㄱㄱ


대충 끄적인거라 틀린거 있으면 댓글로 달아라.