[일반] 표준오차 공식 이해 이게 맞나요?

[익명(121.178)]

책에서 표본합과 기댓값을

이렇게 정의하고, 표본합의 분산을

이렇게 제시했어요.

 

 

그러면 위에 표본합의 기댓값 구하는 과정이

대충 이런 구조고 표본오차도 비슷하게 생각하면 맞는 걸까요? 빨간색 부분이 맞는지가 궁금합니다.

[통갤러 1(141.214)]

어느 책인지 모르겠지만, 아마도 수리통계학 관련 책인 것 같네요. 수리통계학에서 확률변수들의 합의 기댓값은 각각 확률변수의 기댓값과 같습니다. 이것은 적분(혹은 수열의 합)의 성질로 부터 기인한 것인데요, f+g의 적분은 f, g 각각 적분한 것의 합과 같다는 성질이 있기때문에 적분으로 표현되는 기댓값도 비슷한 성질을 갖습니다. 확률변수들의 합의 분산의 경우 조금 다른데요. var(X1+X2)=var(X1)+var(X2)+2*cov(X1, X2) 와 같이 합의 분산은 각각의 분산에 공분산 2배를 더해줘야 합니다.

[통갤러 2(141.214)]

단, 확률변수들이 서로 독립인 경우에는 공분산이 0이 되므로, 확률변수들의 합의 분산은 각각 확률변수들의 분산의 합과 같습니다.

[통갤러 2(141.214)]

더 궁금한 점이 있으시면 댓글 달아주세요.

[통갤러 3(172.226)]

늦은 밤에 답변 정말 감사합니다!! 류근관 저 통계학입니다. 제가 질문을 좀 부족하게 올려서 의도가 잘 전달이 안된것 같네요ㅠㅠ 앞의 가정이 "여러 장의 카드가 들어있는 상자로부터 n장의 카드를 무작위로 복원추출하자. 이 때, i 번째로 뽑힌 카드를 Xi 라 하고, X1부터 Xn 까지의 합(표본합이겠죠?)을 S 라 하자.

[통갤러 3(172.226)]

이러한 내용이 있었는데, 이 때 E(X1 + X2 + ... + Xn) = [X1 + X2 + ... Xn]/n 일 텐데, E(Xi) = Xi/1 (값 1개의 평균은 그 값과 같음) 으로 두니까 뭔가 이상하다 싶더라고요. 그래서 생각한게 저 그림처럼 여러개의 표본(표본 크기는 모두 n)을 뽑고, 각 표본에서 값의 순서가 X1, X2, ... ,Xn 이고, E(Xi) 는 그 서로 다른 표본들의 Xi를 모두 더해 표본의 개수로 나눈 것인지가 궁금했습니다 !!

[통갤러 1(141.214)]

질문에 대한 추가 설명 감사합니다. 좋은 질문입니다. 질문하신 부분이 통계학에서 굉장히 헷갈리는 부분입니다. 먼저 기댓값과 표본평균은 다른 개념입니다. E(X1+...+Xn)은 확률변수들 X1에서 Xn까지 더한것의 확률분포로부터 계산된 기댓값입니다. 표본평균 [X1 + X2 + ... Xn]/n은 X1에서 Xn까지 확률변수들을 더해서 n으로 나눈 것입니다. 여기서 확률변수와 기댓값에 대해서 알고 넘어가야 겠습니다.

[통갤러 2(141.214)]

예를들어 주사위를 3번 굴려서 나온 눈을 각각 X1, X2, X3라고 해봅시다. X1, X2, X3는 실제로 주사위를 굴리기 전에는 값을 알 수 없습니다. 다만 1-6사이의 눈이 각각 1/6의 확률로 나온다는 것을 알고 있습니다.

[통갤러 2(141.214)]

여기서 E(X1)은 X1의 기댓값을 의미하며, 이는 1-6사이의 눈이 각각 1/6의 확률로 나온다는 확률분포로 부터 계산됩니다. 이 경우 X1은 이산확률변수라고 하며 기댓값의 공식은 E(X1)=1*(1이 나올 확률)+2*(2가 나올확률)+...+6*(6이 나올확률)=(1/6)*(1+2+3+...+6)=3.5가 나옵니다.

[통갤러 2(141.214)]

같은 원리로 E(X1)=E(X2)=E(X3)=3.5임을 알 수 있습니다. 여기서 3개의 확률변수를 더해서 새로운 확률변수를 만들 수 있는데 그것을 S로 두면 S=X1+X2+x3이며 S는 새로운 확률변수입니다. 따라서 S도 특정 확률분포를 따르며, 기댓값과 분산을 가집니다.

[통갤러 2(141.214)]

S가 취할 수 있는 값의 범위는 3에서 18사이이며 각각의 확률을 계산해서 확률분포를 계산할 수 있습니다. 다만 여기서 S의 기댓값을 구하기 위해서는 간단히 다음과 같은 성질 E(X1+X2+X3)=E(X1)+E(X2)+E(X3)를 이용해서 계산할 수 있습니다.

[통갤러 2(141.214)]

이 예제에서 표본평균은 (X1+X2+X3)/3이며 이 또한 주사위를 굴리기 전까지는 값을 알 수없는 확률 변수입니다. 다만 주사위를 굴리고 나서 x1=1, x2=3, x3=6이라는 값을 관측했다면 관측된 표본평균은 (1+3+6)/3일 것입니다.

[통갤러 1(141.214)]

정리하자면 E(X1+X2+X3)는 S=X1+X2+X3라는 확률변수의 확률분포를 이용해 계산된 기댓값이며, 표본평균 (X1+X2+X3)/3은 또다른 확률변수이고, Xi들을 관측하고 나면 값을 알 수 있습니다. E(X1 + X2 + ... + Xn) = [X1 + X2 + ... Xn]/n 이나, E(Xi) = Xi/1은 틀린 내용입니다.

[통갤러 2(141.214)]

주사위 던지기가 아닌 일반적인 예제에서도 비슷한 맥락입니다. X1, X2, X3를 i.i.d. 라고 표현한것은 independent (독립) & identically distributed (같은 확률분포를 따름)의 약자입니다. 모집단에서 3개의 표본을 뽑아서 관측한 값을 각각 X1, X2, X3라고 했을 때 표본추출이 유한 모집단에서 비복원 추출로 이루어진 경우 X1, X2, X3는 독립이 아닙니다. 그러나, 주사위 던지기 같은 독립시행 처럼, X1, X2, X3를 같은 확률분포로 부터 나온 독립인 확률변수들이라고 가정하면, 주사위 던지기 예제와 같은 논리가 성립됩니다.

[통갤러 2(141.214)]

다시 말해, iid라고 가정하고 이론을 전개한 것은 유한모집단에서 비복원 추출로 표본을 뽑는 현실의 문제와 상황이 다릅니다. 다만, 모집단의 크기가 크고 표본의 크기가 작으면 유한모집단에서 비복원 추출로 뽑았을 때와 iid로 가정했을 때, 표본합이나 표본 평균 같은 통계량의 확률분포가 크게 차이가 없기 때문에 더 쉬운 세팅인 iid를 가정하고 논리를 전개한 것입니다. 이해에 도움이 되었으면 좋겠네요.

[익명(172.226)]

진짜 감사합니다! 거의 일주일을 해멨는데 단박에 이해 했습니다ㅠㅠㅠ 글로 감사함을 다 못전하는게 아쉬울 따름입니다… 정말 감사합니다ㅠㅠㅠㅠ

[익명(172.226)]

카톡 링크 걸어주시면 커피 기프티콘이라도 드리겠습니다. 진짜 고맙습니다ㅠㅠㅠ

[통갤러 1(141.214)]

기프티콘은 괜찮습니다. 마음만 받을게요 ㅎㅎㅎ. 질문은 언제든 환영입니다.

[익명(122.38)]

이 사람 씹통잘알이네