Q. 두 개의 관찰값 X1과 X2를 모분포 N(mu,1)로부터 얻을 때,
(1) P[X_(1) < mu < X_(2)] = 1-alpha
- 이때 X_(1)과 X_(2)는 순서통계량
(2) X2-mu가 추축변량인 점을 이용하여 신뢰도가 (1)에서 구한 1-alpha와 같은 신뢰구간을 구하고 , 그 길이를 [X_(1), X_(2)]와 비교하라
- 이때 X_(1)과 X_(2)는 순서통계량
문제 (1)과 문제 (2)의 신뢰구간까지는 알겠는데, 길이 비교문제를 못풀겠습니다..
(1)의 신뢰구간은 [X_(1), X_(2)]이고 (2)에서 구한 신뢰구간은 [X2-Z_(alpha/2),X2+Z_(alpha/2)]이니까..
(각 신뢰구간의 길이가 X_(2) - X_(1) 과 2*Z_(alpha/2)로서, 이 둘을 비교하면 될 것 같은데..)
혹시 간단한 힌트나 풀이 알고 계신 분 있으면 공유해주시면 정말 감사하겠습니다..
(1)번 신뢰구간의 길이인 |X_(2)-X_(1)|=|X_2-X_1| 절대값과 순서통계량의 성질때문에 순서통계량이 아닌 그냥 X2, X1으로 바꿔도 같습니다. 여기서 X2-X1은 N(0,2)를 따르므로 Y=(1/2)*(X2-X1)^2 은 카이제곱 자유도1 분포를 따릅니다. 여기서 신뢰구간 길이 |X_2-X_1|은 sqrt(2Y)이므로 카이제곱 분포의 pdf를 이용해서 또다른 신뢰구간 길이인 2*Z_(alpha/2)와 비교하시면 되겠습니다. 첫번째 신뢰구간의 길이는 확률변수이고 두번째 신뢰구간의 길이는 상수이므로, 첫번째 신뢰구간 길이의 기댓값을 계산해서 두번째 신뢰구간과 비교할 수 있을 것 같네요.
감사합니다..대단하시네요 하하
대학원생이신가요? 잘하셔서..