X_1, ..., X_n : r.s. from N(mu, mu^2)일 때,
(X바, S^2)은 완비성이 없음을 보이는 문제예요.
일단 답 풀이는 E[g(X바, S^2)]=0인데,
g(X바, S^2)는 0이 아님을 이용하더라구요.
이건 이해했어요.
근데 X_1, ..., X_n : r.s. from N(mu, sigma^2)일 때,
지수족의 성질을 이용하면 (X바, S^2)은 (mu, sigma^2)의 CSS가 되잖아요.
마찬가지로 X_1, ..., X_n : r.s. from N(mu, mu^2)일 때, N(mu, mu^2)가 지수족임을 보일 수 있고, 지수족의 성질을 이용하면 (X바, S^2)은 mu의 CSS가 되야하는거 아닌가요?
(X바, S^2)은 완비성이 없음을 보이는 문제예요.
일단 답 풀이는 E[g(X바, S^2)]=0인데,
g(X바, S^2)는 0이 아님을 이용하더라구요.
이건 이해했어요.
근데 X_1, ..., X_n : r.s. from N(mu, sigma^2)일 때,
지수족의 성질을 이용하면 (X바, S^2)은 (mu, sigma^2)의 CSS가 되잖아요.
마찬가지로 X_1, ..., X_n : r.s. from N(mu, mu^2)일 때, N(mu, mu^2)가 지수족임을 보일 수 있고, 지수족의 성질을 이용하면 (X바, S^2)은 mu의 CSS가 되야하는거 아닌가요?
식이 지수족 꼴로 변경된다고 다 되는게 아닙니다. 그 외 3가지 조건을 만족해야 하는데 1) 분포의 토대가 모수에 따라 변하면 안됩니다. 2) 모수공간이 k차원 공간의 열린구간다면체를 포함해야 합니다. 3) 모두가 0은 아닌 어떠한 실수 c1,...,ck에 대해서 cT(X)는 상수가 아닙니다. N(mu,mu^2)인 경우는 하나의 모수가 다른 하나의 모수의 함수꼴로 표현될 수 있어서 두번째 조건을 만족시키지 못한다는 것을 알 수 있습니다. 실제로 지수족 꼴로 변형뒤 2개의 natural parameter를 구하면 eta1=1/mu, eta2=-1/(2*mu^2), 이것으로 모수공간을 표현하면
N=[(eta1,eta2):eta2=(-1/2)*eta1^2, eta1>0] 으로 이차원의 열린구간 다면체를 포함할 수 없으므로 2번째 조건이 성립안되고 우리가 지수족이라면 쉽게 CSS를 구할수 있는 그 방법이 먹히지 않습니다
Y=(Y1,Y2); Y1=n개의 X들의 합, Y2=n개의 X제곱들의 합이라면 E(Y2/n)=EX1^2=Var(X1)+(EX1)^2=2*mu^2 E[(Y1/n)^2]=E[(X_bar)^2]=Var(X_bar)+(E(X_bar))^2=(1/n+1)*mu^2 그러므로 E[1/(2n)*Y2-1/(n*(n+1))*Y1^2]=0 다시말해 항등적으로 0이 아닌 함수 1/(2n)*Y2-1/(n*(n+1))*Y1^2에 대해 기댓값이 항상 0인것을 알 수 있습니다
자세한 설명 감사합니다!~
결론은 일단 얘는 complete 아니구요. N(mu, mu^2)은 curved exponential family라 css가 되지 않습니다. 근데 이거 학부 내용이 아니에요..
감사합니다!~