[일반] 적률 구할 때 꼭 e^tX 를 사용하는 이유가 뭐임?

[무라트(146.70)]

적률 구할 때 꼭 e^tX 를 사용하는 이유가 뭐임?

e = exp 이거나 로그의 반대이고

t = 시점인데 시점이 소수점 이하는 시점으로 사용하기 무의미해서 정수를 사용하고

X = 표본변수 인데

어쩌다 모양이 e^tX 형태로 된거임?
수학자의 직관인가?

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[통갤러 1(211.41)]

적률 '구하는거' 는 그냥 E(X^k) 계산하면 되는거고. 적률생성함수 사용할 때 E(e^(tX))=m(t)를 t에 대해 k번 미분하면 E(X^k*e^(tX)) 가 되고 이 때 t=0 넣으면 E(X^k) 가 되기 때문에 계산이 간단해지니까 사용하는거. 적분보단 미분이 쉬우니까. 그리고 적률생성함수는 확률밀도함수의 라플라스 변환이고 라플라스변환은 1:1 대응이라는 것이 알려져있기 때문에 적률생성함수가 같으면 = 모든 적률이 같으면 분포도 같다 를 보일 수 있으니 유용하지

[익명(58.122)]

윗 댓말이 맞음. 추가적으로 mgf를 미분해서 t=0을 대입하여 적률을 구하기 때문에 mgf는 0 근방에서 존재하는가만 점검하면 됨. t는 시점이 아님