Var(nX) = n^2Var(X)
Var(∑Xi) = ∑Var(Xi) = nVar(Xi) , Xi는 iid
두 식이 같아 보이는데 결과는 n^2과 n이 됩니다.
제가 무엇을 잘못 알고 있는 걸까요?
제가 질문을 정확하게 하지 않는 것 같습니다.
1) Var(nX) = n^2Var(X)
2) Var(∑Xi) = nVar(Xi)
1)은 어렵지 않고요.
2) Var(∑Xi) = Var(X1 + X2 + ... + Xn) = Var(X1) + Var(X2) + ... + Var(Xn)
= ∑Var(Xi) = nVar(X)
1)과 2) 모두 확률변수가 n개이므로 결과가 같아야 하지 않을까요?
다릅니다... 손으로 직접 풀어보세용
두개가 다른건 nX는 n개의 독립인 Xi가 아니란거임
보통 2)의 경우엔 Xi 들을 확률변수 X에서 나온 random sample로 간주하여 iid를 가정해두는데 1)의 경우 독립성에 대한 가정이 없다면 분산을 2)와 같은 방법으로 계산할 수 없음 막말로 하나의 샘플을 n번 뽑는 경우라면 그 분산이 어떻게 되겠음?
2는 Xi 들끼리 독립이라 그럼 ㅇㅇ 원랜 공분산이 붙는데 iid 조건에 독립이니 걔들이 다 0이 되어버리거든 - dc App
1번은 같은 확률변수 n개를 더한 거고, 2번은 같은 분포를 따르고 독립이지만 서로 다른 확률변수 n개를 더한 거 다른 확률변수이기 때문에 굳이 같아야 할 이유가 없음
간단하게 n이 2라고 가정하고. 분포는 정규분포라고 하자. 첫번째는 정규분포에서 뽑아낸 값을 x 2를 하는것임. 뽑아낸 값으로 분포를 그려보셈. 좌우로 2배씩 길어짐. 분산은 평균에서의 편차의 제곱으로 정의됨. 그러면 첫식이 이해될거임. - dc App
두번째식은 각각 다른 정규분포에서 값을 뽑아서 더한값들의 분포를 그려보셈. 간략화하기위해 표준정규분포라고 생각하자. 그러면 분명히 아까보다는(첫번째) 평균 주위로 값들이 더 모인다는걸 알수있을거임. - dc App
R이나, 매트랩으로 간단한 코드짜서 그려보면 이해가 될거임. 수학적인 설명은 다른갤러들이 잘 써줬으니 생략함. - dc App
댓글 주신 분들께 감사드립니다. 도움 많이 받았습니다. 감사합니다.