제가 지금 강화레벨 n인 무기를 최종적으로 n+1 강으로 강화하고 싶은데

0.5확률로 강화 성공하고

0.5확률로 강화 실패해서 레벨이 하나 떨어져 n-1이 됩니다.
그러면 강화 확률에 대한 점화식을 쓰고싶은데,

pn을 n강인 무기를 n+1강으로 강화하는 확률이라 할때,
pn = 0.5(첫강화성공)x1(n+1레벨 달성) + 0.5(첫강화실패)xpn-1 x pn 으로 점화식이 쓰여지는건가요?
뒷부분 pn-1 x pn은 강화 실패해서 n-1레벨에서 n까지 가는 pn-1과 n에서 n+1까지가는 pn를 곱한 것입니다.


gpt는 맞다고는 하는데
그러면 최종적으로 몇번 강화버튼을 눌렀는지에 대한 기댓값을 찾고싶은데 이 값은 어떻게 표현되나요?