이항분포→푸아송분포→감마분포까진

유도과정을 통해 의미를 이해 했는데요

즉 감마분포에서 α는 α번째 사건이 발생할 때까지의 총 시간이고 β는 단위시간당 사건발생수의 역수고 확률변수 x는 시간


그런데요

감마분포로부터 카이제곱분포와 베타분포를 유도하는게 계산상으로야 이해하지만 의미가 와닿질 않아서요

카이제곱분포는

감마분포에서 α = r/2 (r은 양의 정수, 자유도), β=2인 경우를 카이제곱분포라 한다

라는건 계산상으로야 당연히 알겠습니다만

그래서 이게 r은 2α번째 사건이 발생할 때까지의 총 시간이고 단위시간당 사건발생수가 0.5라는 의미인가? 생각했거든요

그런데 예제를 보면 표본분산은 카이제곱분포를 따른다 라고 하는데

도대체 표본분산이란거에서 2α번째 사건이 발생할때까지의 총시간, 단위시간당 사건발생수가 0.5??? 그게 어디에 대응된다는건지 도통 모르겠는거에요

뭐 총합을 총시간에 대응시켜서 (표본-편차) 항들의 총합 = S - S = 0 이니

그래서 S가 α개의 총합인데 항들은 총 2α개니까 r이라는 거라고 대응시키면 이거는 이해가 되는데

단위시간당 사건발생수가 0.5???? 실제로는 그냥 더하는게 아니고 제곱해서 더하는거니까 원래의 각 항은 루트를 씌워야되는거니 이게 0.5에 대응된다는것인가??

근데 루트와 단위시간당 사건발생수 0.5는 다른건데... 0.5는 지수에 들어가는 의미가 아니잖아요 도통 이해가 안됩니다


그리고

베타분포도 마찬가지입니다

수학적으로야 비율을 변수로 하기 위해 만든 과정이야 계산상으로 이해는 됩니다만

감마분포로부터 유도할때

서로독립인 감마분포 (α,β)를 따르는 x,y의 joint pdf로부터

x는 (α,β)를 따르는 베타분포, y는 (α+β,1)를 따르는 감마분포라는건 계산상 알겠는데

이게 의미가 그럼

베타분포 pdf가 결국 조건부확률 f(x,y)/f(y) 잖아여

즉 감마분포 (α+β,1) 따르는 y가 있는데

서로독립인 x,y가 같이 발생할 사건이 감마분포 (α,β)를 따른다면

x는 베타분포 (α,β)를 따른다고 한다 이 얘기인거같은데요

일단 감마분포 (α+β,1) 따르는 y가 있는거야 이해할수있지만

비율인 x와 변수인 y가 같이 발생할 사건이 감마분포 (α,β)를 따른다는 상황이 뭔지 와닿질 않아요


뭔가 의미가 잘 설명되어있는 책이나 사이트 있을까요?