단일표본 z검증의 표준오차

Z점수를 구하는 공식을 돌이켜보면, (원점수-평균)/표준편차다. 원점수에서 평균을 뺀 것이 편차인데 이를 표준편차로 나눔으로써 원점수가 평균으로부터 얼마나 떨어져있는지를 객관적으로 표현한 것이다. 한편 단일 점수가 아닌 표본에 대한 검증의 경우, 그 표본을 대표하는 값인 집중경향치(대개 평균)를 원점수 대신 사용한다. 그렇기때문에 표준편차를 사용하는 저 공식을 그대로 적용할 수 없고, 단일 점수가 아닌 표본 단위에 적용할 수 있는, 표준편차를 대신할 어떠한 값을 구해야한다.

표본의 통계치는 모수치와 같지않고 그 차이를 표집오차라고 한다. 모집단에서 표본의 사례수만큼을 무한 번 추출한다고 가정했을때, 그 추출된 표본들의 각각의 평균을 분포로 만들고(표본평균분포) 그 분포의 평균을 구하면 그 값은 중심극한정리에 따라 모집단의 평균과 거의 같을것이다. 그렇기때문에 이 값과 표본들의 평균값간의 차이, 즉 표집오차를 가지고 표준편차를 구하면 그 값은 모집단에 대한 표본들의 표준적인 차이일것이다. 이를 표준오차라고 한다. 표준오차는 표춘편차를 루트n으로 나눈 값이다. 바꿔말하면 변량을 사례수n으로 나눈 값에 제곱근을 씌운 것이다. 표본평균분포가 표준정규분포와 거의 일치하기때문에 표집오차로 자승합과 변량을 구하고 단일 사례가 아닌 표본 덩어리이기때문에 표본의 사례수만큼 나눠 그 표본의 평균적인 변량을 구하고 제곱근을 씌워 표준오차를 정의하는 것이다. 이 표준오차로 표본평균과 모평균의 차를 나누면 표본 단위에 적용할 수 있는, Z점수와 같은 객관적인 값이 나오게 되는 것이다.





단일표본 t검증의 자유도

단일표본 t 검증은 표준편차를 모르기때문에 표본 사례수만큼 무한번 추출하여 중심극한정리에 따라 표준정규분포와 거의 같은 임의의 표본평균분포를 그릴 수 없고 그에따라 표준오차를 구할 수 없어 z검증의 방법을 적용할 수 없다. 그러므로 이 경우에는 표본만 가지고 표본의 표준편차를 구하여 표준오차와 같은 맥락으로 추정 표준오차를 구한다. z검증의 경우 표준정규분포에 가까운 표본평균분포를 그릴 수 있으므로 변량을 사례수로 나눠 제곱근을 씌우면 객관적인 값인 표준오차가 되지만 t 검증의 경우 표본만 가지고 표준오차와 같은 객관적인 값을 구해야한다. 하지만 임의의 표본이므로 편포위험성이 있어 편파추정된 값이 나온다. z 검증의 변량과 같은 부분에서 오차가 발생하는 것이다. 따라서 그 변량부분을 객관적으로 만들어야한다.

Z검증에서의 표준오차는 중심극한정리에 따라 표준편차/루트n이고 n은 자연수이므로 루트n은 항상 1보다 큰 수가 되어 표준오차는 항상 표준편차보다 과소추정된다. 하지만 Z검증은 대표본에 적용하는 것이므로 그정도의 차이는 감안할 수가 있는 것이다. 반면 t 검증의 추정 표준오차의 경우 과소추정 뿐만 아니라 편포위험성까지 있으므로 z검증의 표준오차보다 객관성에서 더 멀어지게 된다. 그렇기때문에 과소추정된 부분을 바로잡아 객관성을 가능한만큼 확보하는 것이다. 이때 적용하는 것이 자유도다. 자유도는 변인의 사례수에서 제약이 있는 사례수를 뺀 값인데, 가령 사례수가 4개인 표본의 경우 3개는 무선적으로 선택할 수 있지만 평균은 고정되므로 나머지 1개는 무선적으로 선택할 수 없고 제약이 생기게 된다. 그러므로 사례수가 4개인 표본은 자유도가 3이 되며 사례수가 n개인 표본은 자유도가 n-1이 된다. 이 자유도를 변량의 분모 n 대신 적용해야 편파추정되지 않고 객관적인, 불편파추정치를 얻을 수 있다.



교수가 서술형으로 낸다고해서 장문충 양해부탁...


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