좋아. non-L1인 에르되시 문제는 이 5개가 전부입니다. UnsolvedMath 표기상 L2=Intermediate, L3=Advanced, L5=Millennium Prize이고, Erdős subset 안에서는 EP-952가 L2, EP-1·141·972가 L3, EP-1135가 L5로 잡혀 있습니다. 흥미롭게도 다섯 문제 모두 Number Theory로 분류됩니다. 



L2 — EP-952 (#952), Gaussian moat problem



문제는 이겁니다. 서로 다른 Gaussian prime들 x_1,x_2,\ldots을 무한히 나열하면서, 매번 점프 길이 |x_{n+1}-x_n|를 어떤 절대상수 이하로 계속 유지할 수 있느냐는 질문입니다. 쉽게 말하면, “복소평면 위에 흩어진 소수들만 밟고 영원히 걸어갈 수 있나?”라는 그림입니다. 공식 페이지는 이걸 Gaussian moat problem이라고 부르고, 또 중요한 단서로 원래는 에르되시 자신의 문제가 아니라 Motzkin/Basil Gordon 쪽에서 나온 문제라고 설명합니다. 에르되시는 이 문제를 좋아해서 널리 알렸고, 1980년 글에서는 답이 거의 확실히 부정적일 거라고 썼습니다. 



L3 — EP-1 (#1), sum-distinct sets



문제 문장은 “A\subseteq\{1,\dots,N\}, |A|=n이고 모든 부분집합 합이 서로 다르면, 반드시 N\gg 2^n인가?”입니다. 여기서 N\gg 2^n는 “N이 2^n의 상수배 이상으로 커야 한다”는 뜻입니다. 직관적으로는, n개의 수를 골랐을 때 부분집합 합이 하나도 안 겹치려면 숫자들이 얼마나 넓게 퍼져 있어야 하느냐를 묻는 문제입니다. 왜 2^n 스케일이 자연스럽냐면, \{1,2,4,\dots\} 같은 2의 거듭제곱 예시는 모든 부분합을 완전히 구분해 주기 때문입니다. 공식 페이지에 따르면 에르되시는 이걸 **“아마 내 첫 번째 진지한 문제”**라고 불렀고, 현재 페이지에는 $500 prize가 붙어 있습니다. 



L3 — EP-141 (#141), consecutive primes in arithmetic progression



이 문제는 **“k\ge 3일 때, 등차수열을 이루는 연속된 소수 k개가 존재하는가?”**입니다. 포인트는 그냥 소수들이 등차수열을 이루는 것만이 아니라, 그 사이에 다른 소수가 끼어들지 않는 ‘연속된’ 소수들이어야 한다는 점입니다. 예를 들어 Green–Tao 정리는 임의의 k에 대해 소수들로 이루어진 등차수열이 존재함을 보여 주지만, 그 소수들이 consecutive일 필요는 없습니다. 공식 페이지는 **k\le 10**까지는 계산으로 확인됐다고 적고, 심지어 k=3에 대해서조차 그런 진행이 무한히 많은지는 아직 열린 문제라고 설명합니다. 에르되시는 이 추측을 당시 기준으로 **“completely hopeless at present”**라고 불렀습니다. 



L3 — EP-972 (#972)



문제는 **무리수 \alpha>1**에 대해, p와 \lfloor p\alpha\rfloor가 둘 다 소수인 경우가 무한히 많은가를 묻습니다. 쉽게 말하면, 소수 p를 무리수 배율로 늘린 뒤 바닥함수를 취했을 때도 다시 소수가 되는 일이 무한히 반복될 수 있느냐는 질문입니다. 이 문제가 미묘한 이유는, 공식 페이지가 적듯이 Vinogradov의 결과로 이미 \lfloor n\alpha\rfloor 꼴의 소수는 무한히 많다는 것이 알려져 있기 때문입니다. 즉 “무리수 배율로 생기는 값이 소수다”는 것 자체보다, 입력 p도 소수이고 출력 \lfloor p\alpha\rfloor도 소수여야 한다는 동시 조건이 훨씬 더 강합니다. 



L5 — EP-1135 (#1135), Collatz conjecture



이건 가장 유명한 축에 드는 문제입니다. 사이트는 함수를 **짝수면 n/2, 홀수면 (3n+1)/2**로 정의하고, 임의의 시작값 m\ge 1에서 이 과정을 반복하면 결국 1에 도달하느냐고 묻습니다. 공식 페이지는 이걸 **“the infamous Collatz conjecture”**라고 소개합니다. 다만 중요한 점은, 이 문제는 원래 에르되시가 낸 문제가 아닙니다. 페이지는 분명히 Collatz가 1952년 이전에 만든 문제라고 적고, 에르되시는 이 문제를 여러 차례 **“hopeless”**라고 불렀다고 설명합니다. 또 페이지에 보이는 $500은 엄밀한 의미의 정식 상금 제안이라기보다, 에르되시의 상금 스케일로 환산한 비교용 값에 가깝다고 적혀 있습니다. 


한 줄로 감각만 붙이면, EP-952는 “기하적으로 소수 위를 걸을 수 있나”, EP-1은 “부분합이 안 겹치려면 얼마나 희소해야 하나”, EP-141은 “소수의 등차수열 + 연속성”, EP-972는 “무리수 배율 아래서 소수성이 얼마나 오래 유지되나”, **EP-1135는 “아주 단순한 규칙이 결국 1로 가는가”**를 묻는 문제들입니다.