다항식 (x^3 + 3)^5의 전개식에서 x^9의 계수는?


1.30

2.60

3.90

4.120

5.150 정답 3번


gpt3.5:다항식 (x^3 + 3)^5의 전개식에서 \(x^9\)의 계수를 구하려면 다항식을 전개하여 \(x^9\) 항을 찾아내야 합니다. 다항식을 전개하기 위해서는 이항정리를 사용할 수 있습니다.


이항정리는 다음과 같습니다:


\((a + b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2} b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n\)


여기서 \(\binom{n}{k}\)는 조합(combination) 기호로, \(n\)개의 원소에서 \(k\)개를 선택하는 경우의 수를 의미합니다. 이 값은 다음과 같이 계산됩니다:


\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)


여기서 \(n!\)은 \(n\)의 팩토리얼(factorial)이며, \(n\)부터 1까지의 모든 자연수를 곱한 값입니다.


이제 주어진 다항식 \((x^3 + 3)^5\)을 전개해보겠습니다:


\((x^3 + 3)^5 = \binom{5}{0}(x^3)^5 \cdot 3^0 + \binom{5}{1}(x^3)^4 \cdot 3^1 + \binom{5}{2}(x^3)^3 \cdot 3^2 + \binom{5}{3}(x^3)^2 \cdot 3^3 + \binom{5}{4}(x^3)^1 \cdot 3^4 + \binom{5}{5}(x^3)^0 \cdot 3^5\)


이를 간단히 정리하면 다음과 같습니다:


\((x^3 + 3)^5 = x^{15} + 15x^{12} + 90x^9 + 270x^6 + 405x^3 + 243\)


따라서, \(x^9\)의 계수는 90입니다.


따라서, 정답은 3. 90입니다. 정답


바드:(x^3 + 3)^5의 x^9 계수는 150입니다.

다항식을 확장하면 다음과 같습니다.

(x^3 + 3)^5 = x^15 + 45x^9 + 405x^6 + 1260x^3 + 1260 + 405x^-3 + 45x^-6 + x^-9

x^9 계수는 45입니다.


비교가안되네