[질문]

Let X1, · · · , Xn be a random sample from Poisson(λ) distribution, with n > 3. (a) Find the uniformly minimum variance unbiased estimator of e−2λ(1 − e−λ);(b) Derive its variance and comment on it



[답변]

To find the uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE) of e^(-2λ)(1 - e^(-λ)), let's first derive the sufficient statistic for the Poisson distribution and then use the Rao-Blackwell theorem and the Lehmann-Scheffe theorem.


(a) Finding the UMVUE:


Sufficient statistic: For the Poisson distribution with parameter λ, the sufficient statistic is T = Σ(i=1 to n) Xi, which follows a Poisson distribution with parameter nλ.


Rao-Blackwell theorem: If T is a sufficient statistic for λ and U is an unbiased estimator of e^(-2λ)(1 - e^(-λ)), then the conditional expectation of U given T, E(U|T), is also an unbiased estimator of e^(-2λ)(1 - e^(-λ)) with a variance less than or equal to the variance of U.


Lehmann-Scheffe theorem: If T is a complete sufficient statistic for λ and E(U|T) is an unbiased estimator of e^(-2λ)(1 - e^(-λ)), then E(U|T) is the UMVUE of e^(-2λ)(1 - e^(-λ)).


Let U = I(X1 = 0, X2 = 0) - I(X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0), where I(.) is the indicator function. U is an unbiased estimator of e^(-2λ)(1 - e^(-λ)) because:


E(U) = P(X1 = 0, X2 = 0) - P(X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0)

= e^(-2λ) - e^(-3λ)

= e^(-2λ)(1 - e^(-λ))


By the Rao-Blackwell theorem, E(U|T) is an unbiased estimator of e^(-2λ)(1 - e^(-λ)) with a variance less than or equal to the variance of U.


Since the Poisson distribution belongs to the exponential family, T is a complete sufficient statistic for λ. By the Lehmann-Scheffe theorem, E(U|T) is the UMVUE of e^(-2λ)(1 - e^(-λ)).


E(U|T) = I(T = 0) - I(T = 0) = 0, if T > 0

e^(-2λ) - e^(-3λ), if T = 0


Therefore, the UMVUE of e^(-2λ)(1 - e^(-λ)) is:

δ(T) = 0, if T > 0

(1 - e^(-λ))e^(-2λ), if T = 0


(b) Variance of the UMVUE:


Var(δ(T)) = E(δ(T)^2) - (E(δ(T)))^2

= (1 - e^(-λ))^2 * e^(-2λ) * e^(-nλ) - (e^(-2λ)(1 - e^(-λ)))^2

= e^(-(n+2)λ)(1 - e^(-λ))^2 - e^(-4λ)(1 - e^(-λ))^2


Comment: As the sample size n increases, the variance of the UMVUE decreases, indicating that the estimator becomes more precise with larger sample sizes. The variance also depends on the value of λ, with smaller values of λ resulting in a larger variance.





추가)한국어로 번역해달라함



(a) UMVUE 찾기:


충분통계량: 포아송 분포의 모수 λ에 대한 충분통계량은 T = Σ(i=1 to n) Xi이며, 이는 모수가 nλ인 포아송 분포를 따릅니다.

Rao-Blackwell 정리: T가 λ에 대한 충분통계량이고 U가 e^(-2λ)(1 - e^(-λ))의 불편추정량이면, U를 T로 조건부 기대값을 취한 E(U|T)도 e^(-2λ)(1 - e^(-λ))의 불편추정량이며, 분산은 U의 분산보다 작거나 같습니다.

Lehmann-Scheffe 정리: T가 λ에 대한 완비충분통계량이고 E(U|T)가 e^(-2λ)(1 - e^(-λ))의 불편추정량이면, E(U|T)는 e^(-2λ)(1 - e^(-λ))의 UMVUE입니다.

U = I(X1 = 0, X2 = 0) - I(X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0)로 정의하며, 여기서 I(.)는 지시함수입니다. U는 e^(-2λ)(1 - e^(-λ))의 불편추정량입니다.

Rao-Blackwell 정리에 의해, E(U|T)는 e^(-2λ)(1 - e^(-λ))의 불편추정량이며, 분산은 U의 분산보다 작거나 같습니다.

포아송 분포는 지수족에 속하므로, T는 λ에 대한 완비충분통계량입니다. Lehmann-Scheffe 정리에 의해, E(U|T)는 e^(-2λ)(1 - e^(-λ))의 UMVUE입니다.

따라서, e^(-2λ)(1 - e^(-λ))의 UMVUE는 다음과 같습니다:

δ(T) = 0, if T > 0

(1 - e^(-λ))e^(-2λ), if T = 0


(b) UMVUE의 분산:


Var(δ(T)) = E(δ(T)^2) - (E(δ(T)))^2

= e^(-(n+2)λ)(1 - e^(-λ))^2 - e^(-4λ)(1 - e^(-λ))^2


해석: 표본 크기 n이 증가함에 따라 UMVUE의 분산은 감소하므로, 추정량은 큰 표본 크기에서 더 정확해집니다. 또한 분산은 λ 값에 따라 달라지며, λ 값이 작을수록 분산이 커집니다.