박사자격시험 문제를 몇개 풀어봤음(실변수함수론) 


1. 주어진 함수가 bounded variation이 되도록 a와 b 값의 조건을 주는 문제

Bounded variation 조건을 직접 활용하기 힘드니 적분꼴로 바꿔서 문제를 잘 풀었다. 





2. Positive Lebesgue measure를 갖는 집합은 항상 non-measurable subset을 갖는지에 대한 문제

풀이가 애매하다. 답 자체는 맞는데 그 답을 정당화하는 과정이 엄밀하지 못하고 말로 때우는 모습. 




3. 불연속점이 정확히 유리수점인 증가함수를 찾는 문제

이거 찾기 꽤 어려운데 한번에 잘 찾아서 놀랐다. 퀄 보기전에 이 문제가 나올까봐 달달 외우고 들어갔던 기억이 난다.




4. 립시츠 조건과 absolutely continuous 사이의 관계

그럭저럭 잘 풀었다. 근데 왜 미분한 함수와 원래 함수를 구분짓지 않고 f(x)로 한번에 표현했는지는 모르겠다.. 




5. 힐버트공간에서 가장 작은 norm을 갖는 원소가 유일하게 존재함을 보이는 문제. 

아.. 살짝 애매하다. Weierstrass extrem value thm을 사용했는데 이걸 여기서 적용할 수 있나..? 유일성은 잘 했는데 존재성을 너무 날로 먹었다. 원래는 코시수열과 paralle law 를 적절히 조합해서 증명해야 한다. 




6. 극한계산

이건 몇번인가 풀려봤는데 DCT를 사용해서 계산한 경우도 있었고 리만-르베그 렘마라는 처음보는 렘마를 적용해서 풀이한 지금같은 경우도 있었음. 어쨌든 답은 모두 맞았다 





7. 두 함수의 convolution이 uniform cont 인지 증명 

중간에 찐빠를 냈지만 명백히 이상한 부분을 수정하도록 요청했더니 이번엔 잘 푸는 모습이다.




아무 참고자료를 주지 않았는데도 꽤 잘한다!