주어진 함수 \( f(x) = \frac{e^x \sin(x)}{x^2 + 1} \)의 \( x = 0 \)에서의 접선의 기울기를 구하기 위해 \(f'(0)\)를 구해야 합니다. \( f'(x) \)는 \( f(x) \)의 도함수입니다.

먼저 \(\frac{d}{dx}\left[\frac{e^x \sin(x)}{x^2 + 1}\right]\)을 찾아야 합니다.

두 함수의 몫의 도함수는 다음과 같습니다:
\[ \frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \]

여기서 \( u(x) = e^x \sin(x) \)와 \( v(x) = x^2 + 1 \)입니다. 이제 \( u(x) \)와 \( v(x) \)의 도함수를 계산해보겠습니다.

1. \( u(x) = e^x \sin(x) \)
   \[
   u'(x) = \frac{d}{dx}\left[e^x \sin(x)\right] = e^x \sin(x) + e^x \cos(x)
   \]

2. \( v(x) = x^2 + 1 \)
   \[
   v'(x) = \frac{d}{dx}\left[x^2 + 1\right] = 2x
   \]

이제 몫의 도함수 공식을 이용해 봅시다:
\[
f'(x) = \frac{(e^x \sin(x) + e^x \cos(x))(x^2 + 1) - e^x \sin(x) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
\]

이를 \( x = 0 \)에서 구해봅시다:
\[
f'(0) = \frac{(e^0 \sin(0) + e^0 \cos(0))(0^2 + 1) - e^0 \sin(0) \cdot 2 \cdot 0}{(0^2 + 1)^2}
\]

여기서 \( e^0 = 1 \), \(\sin(0) = 0 \), \(\cos(0) = 1 \)이므로:
\[
f'(0) = \frac{(1 \cdot 0 + 1 \cdot 1)(1) - 1 \cdot 0 \cdot 0}{(1)^2} = \frac{1}{1} = 1
\]

따라서 함수 \( f(x) \)의 \(x = 0 \)에서의 접선의 기울기는 1입니다. 정답은 2번입니다.