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Terence Tao (@tao@mathstodon.xyz)

Guth and Maynard have managed to finally improve the Ingham bound, from 3/5=0.6 to 13/25=0.52.  This propagates to many corresponding improvements in analytic number theory; for instance, the range for which we can prove a prime number theorem in almost all short intervals now improves from (theta>1/6=0.166dots) to (theta>2/15=0.133dots).  (The Riemann hypothesis would imply that we can cover the full range (theta>0)).The arguments are largely Fourier analytic in nature.  The first few steps are standard, and many analytic number theorists, including myself, who have attempted to break the Ingham bound, will recognize them; but they do a number of clever and unexpected maneuvers, including controlling a key matrix of phases (n^{it} = e^{itlog n}) by raising it to the sixth (!) power (which on the surface makes it significantly more complicated and intractable); refusing to simplify a certain complicated Fourier integral using stationary phase, and thus conceding a significant amount in the exponents, in order to retain a certain factorized form that ultimately turns out to be more useful than the stationary phase approximation; and dividing into cases depending on whether the locations where the large values of a Dirichlet series occur have small, medium, or large additive energy, and treating each case by a somewhat different argument.  Here, the precise form of the phase function (t log n) that is implicit in a Dirichlet series becomes incredibly important; this is an unexpected way to exploit the special features of the exponential sums arising from analytic number theory, as opposed to the more general exponential sums that one may encounter in harmonic analysis. (2/3)

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Guth와 Maynard는 Riemann 제타 함수의 0에 관한 Ingham의 고전적인 1940년 경계에 대한 최초의 실질적인 개선을 이루어 Riemann 가설에 대한 주목할 만한 돌파구를 마련했습니다(하지만 이 추측을 완전히 해결하기에는 아직 매우 거리가 멉니다). (그리고 더 일반적으로 다양한 Dirichlet 급수의 큰 값을 제어합니다.)


https://arxiv.org/abs/2405.20552




실수 부분이 최소 σ이고 허수 부분이 최대 ?인 리만 제타 함수의 0 개수를 ?(σ,?)라고 합시다. 리만 가설은 ?(σ,?)가 σ>1/2일 때 사라진다고 말합니다. 물론 이것을 무조건적으로 증명할 수는 없습니다. 하지만 다음으로 좋은 방법은 ?(σ,?)의 비자명한 상한인 0 밀도 추정값을 증명하는 것입니다. σ=3/4 값이 핵심 값인 것으로 밝혀졌습니다. 1940년에 잉엄은 경계를 얻었습니다.. 그 후 80년 동안 이 경계에 대한 유일한 개선은 ?(1) 오류에 대한 작은 개선이었습니다. 이로 인해 우리는 해석적 수론에서 많은 일을 할 수 없었습니다. 예를 들어, 거의 모든 짧은 간격에서 좋은 소수 정리를 얻는 것과 같이우리는 오랫동안 범위에 제한되어 왔습니다., 주요 장애물은 Ingham 경계에 대한 개선이 부족하다는 것입니다. (1/3)



Guth와 Maynard는 마침내 Ingham 경계를 3/5=0.6에서 13/25=0.52로 개선하는 데 성공했습니다. 이는 해석적 수론의 많은 상응하는 개선으로 전파됩니다. 예를 들어, 거의 모든 짧은 구간에서 소수 정리를 증명할 수 있는 범위가 이제 다음과 같이 개선됩니다.에게. (리만 가설은 우리가 전체 범위를 다룰 수 있다는 것을 의미합니다.).




이러한 주장은 본질적으로 푸리에 해석적입니다. 처음 몇 단계는 표준이며, 저를 포함하여 Ingham 경계를 깨려고 시도한 많은 해석적 수론가가 이를 알아볼 것입니다. 그러나 위상의 핵심 행렬을 제어하는 것을 포함하여 여러 가지 영리하고 예상치 못한 기동을 수행합니다.6승(!)으로 올려서(표면적으로는 상당히 더 복잡하고 다루기 어렵게 만듭니다); 정상 위상을 사용하여 특정 복잡한 푸리에 적분을 단순화하는 것을 거부하고, 따라서 지수에서 상당한 양을 양보하여 궁극적으로 정상 위상 근사보다 더 유용한 것으로 판명되는 특정 인수분해 형태를 유지합니다; 디리클레 급수의 큰 값이 발생하는 위치에 작은, 중간 또는 큰 가산 에너지가 있는지에 따라 케이스를 나누고 각 케이스를 다소 다른 논증으로 처리합니다. 여기서 위상 함수의 정확한 형태디리클레 급수에 내재되어 있는 것이 엄청나게 중요해집니다. 이는 조화 분석에서 접할 수 있는 보다 일반적인 지수 합과는 대조적으로 해석적 수론에서 발생하는 지수 합의 특수한 특징을 활용하는 예상치 못한 방법입니다. (2/3)




새로운 진전은 다음과 같은 일련의 의미로 요약될 수 있습니다(자세한 내용은 James의 발표 참조):







리만 가설



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린델로프 가설

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밀도 가설

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구스-메이너드 0 밀도 추정치 <- 우리는 여기 있습니다

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1940 잉햄 0 밀도 추정치

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리만-폰 망골트 공식에서 "자명한" 경계