왔는데...

여기서 더 잘 안 된다.


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n각형 m개를 이어붙인 m면체 면추이 볼록다면체가 존재한다고 가정하자.

모든 모서리에서 두 면이 만나야 하므로 모서리의 개수는 mn/2 개이다.

따라서 mn은 반드시 짝수이며, 만약 m이 홀수이기 위해서는 n은 반드시 짝수여야 한다.



이 때, n≥6인 경우에 만들어지는 면추이 볼록다면체를 생각해 보자.

n=6일 때, 육각형의 각 꼭짓점의 각도는 120˚+a, 120˚+b, 120˚+c, 120˚+d, 120˚+e, 120˚+f (단, a+b+c+d+e+f=0)로 잡을 수 있다.

또한 입체도형의 한 꼭짓점에서는 반드시 세 개 이상의 면의 만나야만 하므로,

입체도형을 아무리 '완만하게' 볼록한 형태로 만들어도, 모든 꼭짓점에서는 세 면 이상이 만나야만 한다.

즉 가장 완만한 면추의 볼록다면체에서, 각 꼭짓점에서 만나는 세 각도의 합은,

(120˚+a, 120˚+a, 120˚+a, 120˚+b, 120˚+b, 120˚+b, ... , 120˚+f, 120˚+f , 120˚+f )에서 세 개씩 뽑아내 6개의 쌍을 만들어 합을 보는 것과 같다.

그런데 이 때, 이 6개의 쌍의 평균은 [(120˚+a)+(120˚+b)+ ... +(120˚+f)]×3÷6=360˚ 이므로,

필연적으로 하나 이상의 꼭짓점에서 모인 세 각의 합이 360˚ 이상이 되는데, 이는 볼록다면체라는 가정에 모순된다.

n=7, n=8 등등 모든 n≥6인 n각형에서 모두 이 논리가 성립한다.


따라서, n≥6인 n각형만을 모아 만든 면추이 볼록다면체는 존재할 수 없으며,

짝수이면서 n각형을 만들 수 있는 유일한 n=4이다.

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지금 여기서 어떻게 더 다뤄 볼 방법을 찾는 중이다. 모든 꼭짓점에서 연결 상태를 분류해서 따져 본다던가...

근데 영 진전이 없네, 아무래도 수학과는 거리가 먼지라...


일단 조금 더 연구해 볼게.