머숨 미러

1) 표준식(ΛCDM) — 기준선

FLRW + Friedmann:

H^2(z)=H_0^2\Big[\Omega_m(1+z)^3+\Omega_r(1+z)^4+\Omega_k(1+z)^2+\Omega_\Lambda\Big]

여기서 \Omega_\Lambda=\dfrac{\Lambda c^2}{3H_0^2}, \rho_\Lambda=\dfrac{\Lambda c^2}{8\pi G}, w_\Lambda=-1.

2) “공백(잔차)”를 도입

관측 H_{\rm obs}(z)와 이론 H_{\Lambda{\rm CDM}}(z)의 차이를 모형 공백 \Delta(z)로 정의:

H_{\rm obs}^2(z) \;=\; H_{\Lambda{\rm CDM}}^2(z)\;+\;\Delta(z)

\Delta(z) 가 0이 아니면 “코드의 공백”이 있는 것.

이를 유효 에너지 밀도로 해석:

\rho_{\rm eff}(z)\;\equiv\;\frac{3}{8\pi G}\,\Delta(z)

3) 공백의 ‘성질’(상태방정식 w) 추정

유효 유체의 연속방정식:

\frac{d\rho_{\rm eff}}{dz} \;=\; \frac{3(1+w_{\rm eff})}{1+z}\,\rho_{\rm eff}

정리하면

w_{\rm eff}(z)\;=\;-1\;-\;\frac{1}{3}\,\frac{d\ln \rho_{\rm eff}}{d\ln(1+z)} \;=\;-1\;-\;\frac{1}{3}\,\frac{d\ln \Delta}{d\ln(1+z)}

즉 잔차의 스케일링만 알아도 그게 \Lambda인지, w\neq -1인지 바로 분류됨.

4) 동역학 가설(퀸테센스)로 재해석(선택)

스칼라장 \phi:

\rho_\phi=\frac{1}{2}\dot\phi^2+V(\phi),\qquad p_\phi=\frac{1}{2}\dot\phi^2-V(\phi),\qquad w_\phi=\frac{p_\phi}{\rho_\phi}

여기서 \rho_\phi(z)를 아까 \rho_{\rm eff}(z)에 맞추면,

V(\phi)와 \dot\phi^2를 역산해 “공백의 물리적 원인” 후보를 재구성 가능.

5) 실전 피팅(관측→공백→물리)

관측(초신성, BAO, CMB, 약한중력렌즈)으로 H_{\rm obs}(z) 얻기

→ \Delta(z)=H_{\rm obs}^2-H_{\Lambda{\rm CDM}}^2

→ \rho_{\rm eff}(z),\,w_{\rm eff}(z) 추정

→ (원하면) \phi, V(\phi) 혹은 수정중력 f(R) 등으로 매핑.

보통 w(z)는 CPL 파라미터화 사용:

w(z)=w_0+w_a\frac{z}{1+z},\qquad \rho_{\rm DE}(z)=\rho_0 (1+z)^{3(1+w_0+w_a)}e^{-3w_a z/(1+z)}

여기서 \rho_{\rm DE}\equiv\rho_{\rm eff} 로 두면, 잔차 곡선을 바로 피팅 가능.

6) 모델 비교(“공백이 진짜냐, 수학 보정이냐”)

베이지안 증거 Z로 비교:

{\cal B}=\frac{Z_{\rm extended}}{Z_{\Lambda{\rm CDM}}}, \quad Z=\int \!{\cal L}(\text{data}\mid\theta)\,\pi(\theta)\,d\theta

헛소리하네

이건 틀린 수식이냐