[❗정보] ㅇㅎ)수학적 전투 모델링-시간경과에 따른 병력수 변화 계산

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https://m.dcinside.com/board/war/3141160

구판 정보글

https://youtu.be/ZaTc1lQp7Ak

사전 지식을 위한 영상 안봐도 글 내용 이해 가능

예아 오늘은 전투시간 경과에 따른 병력 변화를 계산해 보자

제차연립미분방정식 푸는방법을 아는 게이들은 중간에 눈나 사진부터 보면 된다 이기

수학시간 아니니깐 여기에 관련된 내용만 갈쳐줄거고 내가 수학과가 아니라서 부족한 설명들 많을거야

그럼 드가보자

일단 기초적인 행렬의 연산은 이렇게 하는거노

이거만 알면 이번 글은 다 이해 가능함

오늘꺼는 미적분 좆도 필요없음 몰라도 공식 유도 씹건웅

행렬은 내가 알기로는 윗줄의 수식처럼 연립방정식을 쉽게 풀기 위해서 나온거로 알고 있음

연립 방정식 쉽게 풀수있게 만든거니깐 연립미분방정식에도 써먹을수 있겠지?

아래줄 수식은 위에 있는 연립방정식을 행렬로 나타낸거 처럼 연립미분방정식을 행렬로 나타낸거야

이제 우리는 연립미방의 해인 y가 어떻게 생긴 수식인지를 알아내 볼거야

제차 연립미방을 풀기 위해서는 저거 두개 고유값 λ(람다)와 고유벡터 x벡터만 알면 풀수있어

먼저 고유값을 구하는 법을 먼저 알아보자

고유값을 이런식으로 구하는데 그냥 2차방정식 푸는거랑 똑같음

그냥 막줄 두줄만 봐

이렇게 고유값을 구한 다음에 고유값으로 고유벡터를 구하면 돼

자 이런식으로 구하는거야

맨위에 공식대로 집어넣은 담에 0나오게끔 숫자 잘 끼워맞추면 돼

여러개가 나올건데 계산하기 젤 편한거 하나 골라서 쓰면 됨 어떤걸 고르든간에 상관없음 이유는 몰?루

위에 두개 구했으면 이제 이 공식에 집어넣기만 하면 답이야

쉽지?

람다가 중근 허근일때 공식이 달라지긴 하는데 이번 정보글에 필요는 없으니깐 궁금한 게이들은 위에 영상을 참고하도록 해

제차연립미분방정식을 배웠으니깐 잠시 쉬어야겠지 눈나나 보자

그럼 이제 우린 연립미방을 란체스터 모델에 적용해 봐야해

자 저번에 세웠던 미분방정식 모델을 연립해보면 다음과 같이 돼

그럼 위에서 봤던 연립미방과 이런식으로 대입이 되겠지?

이제 고유값과 고유벡터를 구해보자

이렇게 간단하게 고유값과 고유벡터를 구할수 있어 이제 공식에 대입만 하면 돼

대입을 하면 이렇게 답이 나오는데 우리는 실제로 이걸 써먹기 위해서는 특수해가 필요해

전투를 시작하는 시간 즉 t=0초 일때 병력이 처음 병력이잖아 이 초기값을 이용해서 특수해를 구해 보자

이렇게 적분상수 C들을 구해서 특수해를 구했지만 좆더럽지

식을 전개해서 정리를 해보자

이렇게 정리를 하다 보니깐

며용!

쌍곡선 함수와 같은 형태가 나오노

그래서 결론적으로 이렇게 비교적 간단한 형태의 공식을 얻을수 있어

이제 이 공식을 좀 변형 시켜서 다른 정보들을 얻어보자

공식의 양변을 최초병력수로 나누면 시간당 남아있는 병력 비율을 알수 있을거야

이런식으로 매개변수들을 이용해서 좀 간단하게 표현이 가능해 φ(파이) τ(타우)

이때 타우에서 루트ab는 얼마나 강도가 높은 전투인지 알수 있고 파이에 있는 루트 b/a 와 그 역수로 각 군의 상대적인 전투 효율을 알수 있어

그리고 x,y 타우의 그래프를 그려보면

이런식으로 나오는데 이는 파이 값이 1일때 무승부가 나고 1보다 크면 X군이 이기고 1보다 작으면 Y군이 기긴다는 것을 알수 있어

그러므로 우린 전투에서 이기기 위해서 파이값을 보고 어떤식으로 할지를 생각해보면 돼

오늘 나온 내용들로 내가 계산기를 만들어 왔어 이거로 최초 병력과 전투력을 입력하면 시간에 따라 어떤식으로 병력들이 소모가 되는지 알수 있어

이건 x(t),y(t)값

시간에 따른 잔존병력수야

x(타우),y(타우)값 시간에 따른 최초병력에 대한 잔존병력 비율이야

x,y군 병력수 변화의 솔루션 커브야

란체스터 모델과 비슷한 느낌인 로카-볼테라 모델에서 위상평면으로 해석을 하길래 추가해 봤어

sheet2에 들어가서 첨에 넣은 값에 따라서 적절하게 시간을 늘리거나 줄이면서 사용하면 돼

https://docs.google.com/spreadsheets/d/13rwVmHXNieWUTlfgYXDUBcV_6xkDvmoJ/edit?usp=drivesdk&ouid=104991330620122734385&rtpof=true&sd=true

참고문헌

1. 강정흥, 수학적 전투 모델 이론, 교우사 (2015)

2. Jeffrey S. Strickland, Mathematical Modeling of Warfare and Combat Phenomenon, Lulu inc (2011)

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군붕이들 정보글 본다고 고생했으니깐 눈나나 보자

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