머숨 미러

괴델의 불완전성 정리(영어: Gödel’s incompleteness theorems)는 수리논리학에서 페아노 공리계를 포함하는

모든 무모순적 공리계는 참인 일부 명제를 증명할 수 없으며, 특히 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 정리다.(출처:위키백과)

위의 정리는 결론을 이해하는 것도 힘들고, 증명을 이해하는 것도 힘들 수 있습니다. 그런데 그 증명이 옳다는 것을 알고 있기 때문에

다른 증명이나 예시를 통해서 괴델의 불완전성정리가 의미하는 것이 무엇인지는 좀 더 쉽게 이해할 수 있는 방법이 있습니다.

쉽게 말해서 답이 있다는 것을 알게되면 그것을 다른식으로 쉽게 이해하는 방법을 찾을 수 있다는 겁니다.

먼저 '모든 무모순적 공리계는 참인 일부 명제를 증명할 수 없다.' 부터 이해해봅시다.

무모순이라는 것은 쉽게 말해서 특별한 경우를 인정하지 않는 일반화를 의미합니다.

예를 들어 '모든 변화는 연속이다'의 공리의 경우 '모든' 이란 단어가 들어갔기 때문에 일반화가 되었다는 것이죠.

다시 말해서 '미시입자는 불연속으로 변화하고 거시입자는 연속으로 변화한다' 라는 전제는 모순적이지만

위의 "모든'이 들어간 경우는 모순적이지 않고 일반화된 무모순의 명제라는 것입니다.

따라서 상대론의 공리가 '모든 변화는 연속이다' 라면 불연속으로 변화하는 '참인 현상'이 있을 경우 그것을 증명(설명)할 수 없다는 것이죠.

다음은 '무모순적인 공리계는 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 정리다.' 를 이해해 봅시다.

제 설명을 이해하신 분들은 모순성이라는 것은 기준에 따라 달라지는 상대성이라고 이해할 수 있을 겁니다.

결국 무모순성이란 무상대성이며 즉, 무모순적 공리계는 스스로 상대성이 없다는 것을 증명할 수 없다는 의미가 됩니다.

그런데 전에 설명했듯이 '모든 (입자성을 가진 것들의) 변화는 연속이다' 란 공리를 가진 상대론의 경우 시간의 상대성(모순성)이 있었고

'모든 (입자성을 가진 것들의) 변화는 불연속이다'라는 공리를 가진 경우 질량의 상대성이란 모순성이 생기게 됩니다.

따라서 인간이 무모순적 공리계라 생각하는 공리계는 모순성이 없다는 것을 증명할 수 없고 오히려 모순성이 있다는 겁니다.

수학적인 예를 들자면 수학의 경우 어떤 점을 좌표의 기준으로 삼느냐에 다른 좌표들의 값도 달라지는 것을 들 수 있겠죠.

결국 어떤 공리계가 무모순적으로 일반화 될 경우 괴델의 정리가 옳다는 겁니다.

양자역학을 이해하시려면 제 책을 읽으시면 됩니다.

뉴턴역학과 상대론까지는 변화가 연속이라는 가정하의 이론이고

양자역학은 미시와 거시의 구분없이 변화가 불연속이라는 현상을 기반(공리)으로 생각해야 이해할 수 있는 이론입니다.

현상적으로 질량체나 입자의 변화는 불연속이 맞습니다. 그래서 빛이 절대속도인 것이고 말이죠.

물리학자들이 양자역학을 이해하지 못하는 이유도 질량체의 변화가 불연속이라는 것을 생각하지 못하기 때문입니다.

책은 전자책으로 무료입니다.

괴델의 불완전성정리의 물리학적 이해