유체역학 + 탄성에너지 부탁드립니다ㅜㅜ

[익명(59.11)]

part c 답은 구했지만 도저히 그 원리를 모르겠습니다.

이건 제 풀이인데 얼음덩어리가 완전히 물속에 가라앉았을때의 부력을 탄성력 kx랑 같다고 가정하고 k를 구했습니다. 그리고 에너지 보존법칙으로 최대높이를 구했는데 답이 음수가 나오네요. 뭐가 잘못된건지 알려주시면 감사하겠습니다

[익명(121.130)]

아마 충분히 천천히? 물이 잔잔하고 밀도가 안 변한다는 가정 하에서 Navier-Stokes 방정식에 의해 밀도 ρ, 점성계수 μ, 압력장 P, 중력가속도 G(얜 벡터임) 일 때 ρDV/Dt=-▽P+ρG+μ▽^2V에서 V=0 대입하면 ▽P=(aP/ax,aP/ay,aP/az)=ρG=(0,0,-ρg)로 압력장은 P=P0-ρgz가 될거구요(z는 대개 음수)

[익명(121.130)]

이제 물체가 물(유체)에 의해 받는 힘은(부력) 잠긴 부분에 가해지는 압력의 합이라 잠긴부분 단면적 기준으로 B=∫∫-(Pn)dA일건데 얘는 F=Σ(F•e_i)e_i로 쓰듯이 쓸 수 있어요 그래서 B=Σ[∫∫(-Pe_i)•ndA] e_i가 돼요 근데 잠긴부분의 경우 아예 위쪽도 물에 잠긴게 아니라서

[익명(121.130)]

각 ∫∫-Pe_i•ndA는 다시(잠긴면적) ∫∫-Pe_i•ndA(잠긴위쪽단면에 물 차있다고 가정)+∫∫Pe_i•ndA(n=(0,0,1)) =∫∫∫▽•(-Pe_i)dV+P0δ_i3A =(ρgV+P0A)δ_i3 임을 알 수 있고 그러니 부력은 (0,0,ρgV+P0A)가 돼요

[익명(121.130)]

사진이 잘 안보여서 초기 수면에 xyz좌표계 잡은거고, 수면에서의 압력을 P0로 뒀어요. +z방향은 위쪽이구요 그럼 물체의 질량이 m일 때 물체의 운동방정식은 x,y쪽은 다 0이라 의미 없고 ma_z=ρVg-mg+P0A =(ρgl+P0)A-mg (A는 물체 가로로 자른 단면적) (가라앉은 깊이를 l이라 하면 V=Al)이 되는데

[익명(121.130)]

a_z가 양의 값이면 위로 움직이니까 l이 줄어들겠죠? 그러니 a_z=(-d^2l/dt^2)임을 알 수 있어요 결국 미분방정식 -md^2l/dt^2=(ρAg)l+(P0A-mg) →m(d^2l/dt^2)+(ρAg)l=(mg-P0A) →d^2l/dt^2+(ρAg/m)l=(g-(P0A/m)) 을 얻게돼요. 따라서 가라앉은 깊이 l은

[익명(121.130)]

l(t)=Rsin((sqrt(ρAg/m))t+φ)+[g-(P0A/m)]/(ρAg/m) =Rsin((sqrt(ρAg/m))t+φ)+([mg-P0A]/ρAg) 이 되고 상수 R과 φ는 초기조건에 의해 결정될거에요

[익명(121.130)]

그리고 위에 편의상 δ_i3 썼는데 얘는 Kronecker delta에요. i=3이면 값이 1이고 그 외에는 값이 0이에요

[익명(121.130)]

초기조건 대입해서 R 얻으면 최대 높이는 가라앉은 길이가 최소일 때니까 l_min=([mg-P0A]/ρAg)-R 일 때고 따라서 (Vol/A)-l_min =(m/(ρ_ice*A))+R-([mg-P0A]/ρAg)가 최대 높이일 듯 하네요 (글자가 안 보여서 상수 A, R, P0 값은 모르겠네요)

[익명(121.130)]

위에서 보시면, 가라앉은 깊이를 x로 둘 때, kx=mg 쓰는건 맞는데, 물체의 밀도(균일하다면) (m/Vol)가 물의 밀도 ρ보다 작다면, 부력이 중력과 같아지는 시점이 '완전히 가라앉은게 아니고' ρ(AX_eq)g=mg 에서 가라앉은 깊이가 X_eq=(m/ρA)일 때 겠죠 이 값은 완전히 가라앉은 깊이인 X_sub=Vol/A랑은 다르죠(ρVol≠m)

[익명(121.130)]

그러니 kX_eq=k(m/ρA)=mg에서 k=ρAg가 될거에요

[익명(121.130)]

에너지 보존의 경우 다시 미방 m(d^2l/dt^2)+(ρAg)l=mg-P0A에서, dl/dt=-v_z고 ||v||^2=v_z^2=(dl/dt)^2이니까 chain rule에 의해 d^2l/dt^2=(dl/dt)d(dl/dt)/dl =(-v_z)d(-v_z)/dl=v_z(dv_z/dl)=(1/2)d(v_z)^2/dl 이라 이거로 식 바꾸면돼요

[익명(221.157)]

그래서 결론이 뭐냐? h=?

[익명(121.130)]

위에 씀 (m/(ρ_ice*A))+R-([mg-P0A]/ρAg) 글자 안보여서 상수들 찾아 대입해야됨