선형공간의 원소가 벡터임.

선형공간은 두 원소의 덧셈과 실수배에 대해 연산이 되어야 하는 필요충분조건을 가지고 있음.

우리가 어떤 원소끼리의 대응을 함수로 말하면 사상이라고 말함 맵핑이라고도함.
정의역 공역 치역을 이용해서
정의역과 공역이 같은 사상을 자기사상이라하고
치역과 공역이 같은 사상을 전사라고 한다
만약 여기서 서로다른 임의의 원소 두개의 상이 서로 다르게 나타나면 우리가 일반적으로 말하는 일대일 또는 단사함수라고 하고
전사이면서 동시에 단사인 사상을 전단사라고 한다.

그니까 애초에 벡터라는 것은 사상 즉 맵핑을 만족시키면서 선형공간을 만족시키면 그것을 선형사상이라고 말할 수 있는데
그 선형공간의 원소들을 벡터라고 부르고 그 벡터들의 연산은 이러한 선형사상을 기반으로 만들어진거다

쉽게 말하면
좆도 두 개가 함수로 표현이 가능하면서 그게 선형성을 가져야한다는건데 선형성은 말그대로 원소끼리의 덧셈과 실수배를 만족시켜야함.
그게 되면 그 선형공간의 원소들을 벡터라고 부르는거임.

이게 성립하지 않으면 애초에 선형성이 아니고 벡터로 표기불가하다.
벡터로 표기가 불가하다면 비선형적 조건을 따르는 급수를 사용해야하고, 그 급수표현의 한계문제들이 지금 여럿남아있다.
리만가설, 나비에스톡스 등등 좆도많지