https://youtu.be/Kbz1bSVHBb0


정수에는 양의 정수와 0과 음의 정수가 있다. 모든 자연수는 양의 정수이다.

양의 정수와 자연수를 일대일 대응시키면 0과 음의 정수가 남는다.

그러므로 정수의 개수는 자연수의 개수보다 많다고 할 수 있는가?

정수의 집합은 원소의 수가 무한개이다.

자연수의 집합의 원소의 개수도 무한개이다.

같은 무한개에도 차이가 있는가?


사과의 개수가 무한개 있다고 하자.

배의 개수가 무한개 있다고 하자.

사과의 집합에는 배가 없다.

배의 집합에는 사과가 없다.

사과의 집합의 원소의 개수가 많은가 배의 집합의 원소의 개수가 많은가?

동일하다.


어느 한 집합 안에 다른 원소가 없더라도 무한의 크기는 차이가 없다.


자연수에 0과 음의 정수가 없더라도 자연수의 원소의 개수의 무한의 크기는 정수의 집합의 원소의 개수의 무한의 크기와 차이가 없다.

이제 정수에서 자연수를 빼보자.

그러면 양의 정수와 자연수가 동일하므로 정수에서 0과 음의 정수만 남는다.

정수에서 자연수를 뺀 값은 무한이다.

무한에서 무한을 뺀 값이 무한이다.


이번엔 양의 정수 집합에서 자연수를 빼보자.

아무리 무한개의 수가 있다 하더라도 양의 정수와 자연수는 동일하므로 같은 개수에서 같은 개수를 뺀 값은 0이다.

무한에서 무한을 뺀 값이 0이다.


정수의 무한과 자연수의 무한이 차이가 있는가?


위 동영상에서 보면

자연수의 홀수를 정수의 0에서부터 양의 정수와 하나씩 대응시키면 일대일 대응하고

자연수의 짝수를 음의 정수와 하나씩 대응시키면 일대일 대응하므로

자연수와 정수의 개수는 같다고 증명하고 있다.