가속도= 접선가속도+ 법선가속도 인데
문제에서 속도를 구하는데 밑에식보면 접선가속도만 적분함
도대체 왜이런거임?
속도를 미분할땐 두개의 식이 나와놓고 적분할땐 왼쪽꺼만 적분하네
내가 개념오류가 있는겅가
아니 이거 동역학 말이안되는데
루키영재(youngjae12)
2021-09-23 16:22:00
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왼쪽 v 속도가 아니고 '속력'임 볼드체 안돼있어
볼드체는 벡터라는거아님??
문제 이제 읽었네 개념 묻는줄 궤적이 원운동이라서 속력 ||v||만 구하면 접선성분은 그거 미분때리면 되고 법선성분은 κ||v||^2 (κ는 곡률, 원의 경우 1/반지름) 이니깐 결국 시간에 따른 속력만구하면됨
보통 저런 문제보면 단위접벡터나 단위법벡터를 구하란 말이 없어서 계수만 이런식으로 쓰면 됨 운동방정식 풀 때도 그럴거임
법선성분이 v^2/R 인건 아는데 이것도 적분해야 되는거 아니냐는말인데 내가빡대가리라 그런지 님 말이 이해가안감
문제 보면 가속도 접선성분 나와있지? 그건 a_t=d||v||/dt 로 속력 미분한값임 근데 a_n=κ||v||^2이니까 ||v||를 구해야됨 그러니 ∫a_tdt=||v||로 적분해서 속력 얻고 a_n은 그냥 저 속력 제곱해서 곡률곱하면 끝
수식적으론 이해가 갔는데 상식적으로 속도를 미분한게 가속도고 가속도를 적분한게 속도인데 속도를 미분하니까 접선가속도+법선가속도가 나왔음 그럼 속도를 다시구하려면 접선가속도적분+법선가속도적분이 맞는거아님? 내가너무 이상하게 생각하는건가
교수님한테 물어보면 뭔 이런걸 물어보지 라고 생각할 수준의 질문임?
어 '속도'를 다시 구할라면(방향까지) 가속도 전체를 적분하는게 맞아 근데 그림에서 알듯이 단위접선벡터 e_t만 알고 있으면 v=||v||e_t 니까 속력만 얻으면 '그 순간'의 속도도 바로 알 수 있음 그 전체 적분은 임의의 시간에 대한 속도를 다 알고 싶으면 해야하는거고 (크기야 1이고 방향만 알면)
동역학 책 풀다보면 알겠지만 임의의 시간 t에 대한 함수로 a(t), v(t) 구하란거 잘 안 나옴 그냥 그 순간 속도, 순간 가속도만 얻어봐라는게 많이 나옴. 강체쪽 들어가면 임의의 시간 t에 대한 함수로 표현하기 힘든 경우가 많거든 (진짜 궤적구할라면 수치적으로 들어가는 수 밖엔 없음, 특수한 경우 Reduced Grobner basis 써서 가능하긴
가능하기는 함(보통 로봇공학쪽 parallel robot에 많이 씀)
근데 모순이 있는거같은게 그 순간의 속도를 구할수있으면 임의의시간에대한속도를 전부 알수있는거아님?
일단 임의 시간에 대해 다 알라면 e_t, e_n도 시간에 대해 알아야하고 말한대로 항 2개 다 적분때려야되는데 그렇게 안 하고도 접선가속도만 알면 순간속도는 찾을 수 있고 (그 때의 단위 접벡터 찾는건 이 경우 원형트랙서 운동하니까 거리=∫||v||dt로 속력 함 더 적분해서 얻은 담에 위치찾고나서 접선/법선 그으면 됨
답변 진짜 고마운데 내머리로 이해가 너무안감..풀이방식만 알고가는식으로 넘어갈까? 교수님한테도 메일로 질문 해보려고하는데
저 경우는 특수하게 '원형트랙'으로 곡률을 한정시켜줘서 그럼. e_t, e_n 을 시간에 대해 막 구할 필요 없이 방금 쓴 대로 위치 추정해서 찾을 수 있으니까(사실상 재매개화, 일반적으로는 힘듦) 결론은 굳이 가속도 전체 적분 안 쓰고도 속도벡터 얻을 수 있다는거고 차 움직일 때 악셀밟는게 접선가속도주는거고 핸들돌리는게 법선가속도주는거라보면 됨
와 방금 깨달은거같은데 순간속도에 법선벡터가 영향을 안끼친다는거 맞음?
'속력'에는 ㅇㅇ 방향만 바꾸는애임 사실상
속도에서는 법선속도라는게 없고 접선속도만 존재한다고 하긴하는데 가속도는 법선가속도와 접선가속도가 존재하잖아 그럼 법선가속도가 속도에영향을 주는게 아니면 도대체 뭐에영향을 주는거임? 위치에영향을 주는거임?
아까 임의의 시간에대한 속도를 다 알고싶으면 법선과 접선가속도 둘다적분하라했는데 법선가속도는 속도에 영향을 안주는데 뭘 구하려고 적분하는거임?
아까 말한대로 가속도 법선성분은 속도벡터의 방향 가속도 접선성분은 속도벡터의 크기를 바꾸는데 기여함. 근데 법선성분은 e_t 알면 볼장 다 본거임 보통 정의대로 ||v||de_t/dt=κ||v||^2e_n이 니까 양변 ||v||로 나누고 적분해서 e_t구할 때 씀 (방향찾기), 이 문제는 이미 방향 알잖어 그니까 속력만 알면돼서 저런거고
교수님한테 왜 법선은 적분안하냐고 질문하면 이상하게 안보겠지? 메일 보내고 답온거랑 님 답변한거보면서 제대로 이해좀 해보려고 하는데
예를들어 (1) κ=0이면 접선성분만 속도벡터에 영향을 주니까 계속 방향 그대로고 속력(||v||)만 변할거임 (2) ||v||=상수면 법선성분만 속도벡터에 영향을 니까 방향만 바뀌고 속력은 그대로임 (3) 보통 엄밀히는 서로 영향 주고받음 법선성분이 접선성분 업데이트된 ||v|| 영향받고 e_t가 변해서 다시 접선성분이 저 업데이트된 e_t영향 받음
ㅇ 싸이코 아닌 이상 뭐라 안 함 물어볼 수도 있지 여튼 2가지 방법으로 가속도에서 속도 복원할 수 있다는거 (1) 가속도벡터 통째로 적분 (2) 속력따로 구하고 방향따로 구하기 (단, (2)의 경우는 둘 중 적어도 1개는 필요) 저 문제는 방법(2) 시도하는거고
그리고 책의 문제풀이도 a=a_te_t+a_ne_n에서 a_t=d||v||/dt를 적분해서 ||v|| 를 구한거지 a_te_t를 적분한게 아님 e_t도 시간에 따라 변하는데 적분으로 속도 구할거면 'a_te_t'랑 'a_ne_n'을 적분해서 더해야됨
근데 e_t랑 e_n을 적분어케함? 그냥 단위벡터인데 적분이됨? a_t와 a_n만 적분되는거아님?
바이크 타고싶오
쭉 댓글 읽고 내가 댓글 많이 달게 된 이유를 알았네 a_t만 적분한게 왜 a=a_te_t+a_ne_n서 왼쪽만 적분한게 되냐 그냥 속력 ||v||찾는거지 e_t도 시간따라 변하는데 e_t=(T1(t),T2(t),T3(t)) 꼴이라 왼쪽 항은 a_te_t=(a_t(t)T1(t),a_2(t)T2(t),a_3(t)T3(t)) 를 적분한게 왼쪽만 적분한거임
그럼 e_t는 저문제에서 구할수없는거임?
오른쪽도 마찬가지 e_n=(N1(t),N2(t),N3(t)) 꼴이라 a_ne_n= (κ||v||^2N1(t),κ||v||^2N2(t),κ||v||^2N3(t)) 인거라 얠 적분한게 오른쪽 적분한건데 설마 a_n=κ||v||^2 적분한거라 생각한거?
- 법선/접선 좌표계에서 속도는 접선방향 성분만이 존재하기 때문. - 속도로부터 가속도를 유도하는 과정을 보면 위 설명을 이해하는데 도움이 됨. 이렇게 답변왔음 10분만에..
돌려서 구해야됨 s(t)=∫||v||dt가 (0서 t까지 적분) 0초서 t초까지 이동한 거리니까 얘로 저 트랙 몇 바퀴 (4.5바퀴면 제자리서 90도 회전한거랑 같고) 돌았나 알 수 있으니 해당 시간에서의 위치 표시 가능
위치표시하면 거기서 트랙 중심을 향하는방향을 잡으면 그 방향 단위벡터가 e_n이고 그 위치 접선방향 단위벡터가 e_t가 됨
e_t 억지로 구할라하면 O를 x축 위치로 두고, 그럼 호의길이가 s(t)=Rθ(t)니까 θ(t)=s(t)/R이고 e_n(t)=(-cos(θ(t)),-sin(θ(t)))이며 e_t(t)=(-sin(θ(t)),cos(θ(t))) 임을 알 수 있음
그리고 저거 그냥 10초일 때 속도벡터를 e_t 랑 e_n으로 표현하란식으로 돼있어서 그냥 속력 30m/s 얻었으면 30e_t 라고만 쓰면 답인 듯 e_t, e_n 찾으란 말 보통 동역학에서 안 해
v(t)=2t+0.1t^2이고 초기위치가 O=(R,0) (R=400)이라 치면 s(t)=t^2+(t^3/30) 이고 θ(t)=s(t)/R이니까 θ(t)=(t^2/400)+(t^3/12000)네 그니까 a_te_t= (-(2+0.2t)sin((t^2/400)+(t^3/12000)), (2+0.2t)cos((t^2/400)+(t^3/12000)))임
보면 알겠지만 저대로는 적분 못 함 대신 κ||v||^2e_n =(1/400)(2t+0.1t^2)^2× (-cos((t^2/400)+(t^3/12000)), -sin((t^2/400)+(t^3/12000))) 이라서 얘까지 저기다 더하게 되면 적분할 수 있고 적분 시 의도한대로 속도벡터 얻긴 함
계산 보면 알겠지만 보통은 계산 지저분해지고 속도도 오래걸려서 e_t, e_n 을 직접 구하는건 거의 안 나옴 동역학 솔까 ΣF=Ma, Στ=Iα랑 강체기구학 살짝인데 나머진 테크니컬하게 쉽게 푸는법 익히는거임 (운동량/충격량을 쓰든 에너지보존을 쓰든) 엄청난 물리적 의미 이런건 없음 왠지 강체가 회전과 병진운동 '만' 한다는대서 질문 함 더할것같다
답변 진짜 감사 ㅠㅠ 우선 그냥 넘어간다음 과제좀처리하고 님이 댓글 달아준대로 세타랑 법선벡터 구하는거 이용해서 적분까지 혼자 한번 해보고 나중에 다시 궁금한거있으면 다시 물어봄 진짜 ㄱㅅ ㅠㅠㅠ
평면운동이라 e_t, e_n을 e_r, e_θ(아마 바로 다음 절일듯)로도 표현 가능함 위치벡터=re_r이라 v=(dr/dt)e_r+(rdθ/dt)e_θ, (r=400) a=[(d^2r/dt^2)-r(dθ/dt)^2]e_r +[2(dr/dt)(dθ/dt)+rd^2θ/dt^2]e_θ 에서 e_t=e_θ, e_n=-e_r, 400d^2θ/dt^2=2+0.2t
지금 거기 공부중임 진짜 님이 댓글달아준거 과제끝나고 전부 혼자서 해보겠음 ㄱㅅ ㅠㅠㅠ
강의에서 e_t 나e_n벡터를 직접구하는건 안다루고 넘어감 책에는 있는데