페르마의 정리는, 일단 n이 소수일때 안되는것만 증명하면 된다.
나머지 수는 모두 소수의 배수이기 때문이다.
일단 n=3일때부터 증명해보도록 하자.
a^3 +b^3=c^3일경우
a^3+b^3==c^3(mod 3)
여기서 두가지로 나뉜다
1) a,b가 3의 배수가 아닐 경우
2) a,b가 3의 배수일 경우
1을 먼저 보도록 하자
페르마의 소정리에 의해
a+b==c(mod3)
이때 a,b,c의 가능한 쌍은(1,1,2) (1,2,0) (2,2,1)의 3가지다
여기서 위 3가지의 경우를 증명하면, 자동적으로 2)는 성립되는 경우가 없다는걸 알수 있다.
왜냐하면, 2)에서 a,b,c를 각각 3p,3q,3r(p,q,r은 3의 배수가 아님)이라고 가정할 경우
이 p,q,r쌍도 p^3+q^3=r^3이 성립해야하기 때문이다.
즉, 우리는 1)의 경우만 증명하면 되는 것이다.
1-1) (1,1,2)
a=3p+1
b=3q+1
c=3r+2라고 가정
(3p+1)^3+(3q+1)^3=(3r+2)^3
27p^3+27p^2+9p+1+27q^3+27q^2+9q+1=27r^3+54r^2+18r+8
양변을 9로 나눴을때 좌변은 나머지가2, 우변은 8이므로 성립
할수 없다
1-2)
여기도 좌변의 모드는8+8==7(mod9), 우변은8(mod9)이다
역시 성립 x
1-3)
여기도 좌변은 7, 우변은 1
역시 성립 x
따라서 1)의 경우에 성립하는 해가 없으므로 2)도 없다
사실 저는 고2이후로 수학을 공부해본적이 없읍니다.
따라서 제가 증명에 쓸수 있는 툴도 몇개 없읍니다.
알량한 지식으로 깝쳐서 죄송합니다.
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