수리물리학이란 ?


수리물리학은 물리학에서 방법론과 도구로써 사용되는 수학을 배우는 학문이야


물리학을 잘하려면 수학을 잘해야 해. 그래서 물리학도를 위한 실전압축수학을 수리물리학이라고 불러.


수리물리학에 포함된 과목은 미적분학, 선형대수학, 해석학(복소해석학, 벡터/텐서해석학, 조화해석학), 군론, 확률과 통계야.


대수적 구조를 다루는 추상대수학(현대대수학, abstract algebra)을 수학의 필수이자 근본이라고 부르는데 여기서 나온 것이 군론이야.


군은 물리학의 유용한 도구야. 그래서 오늘은 군론에 대해서 얘기해볼거야.


군(Group)의 정의...


군 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}G는 어떤 객체나 연산자들(예를 들어 회전변환)을 원소로 하는 집합과 그 원소들 사이의 곱셈(multiplication, product)이라는 절차가 다음 조건을 만족시키는 경우을 말해.


1. 군 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}G의 어느 두 원소 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}a, svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}b를 곱한 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}ab는 항상 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}G의 원소가 되어야 해. 이것을 곱셈에 대하여 닫혀있다라고 말해.

2. 군 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}G의 어느 세 원소 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}a, svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}b, svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}c에 대해 곱에 대한 결합 법칙 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}(ab)c=a(bc)을 만족해야해.

3. 군에는 유일한 항등원 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}I 가 존재해야 해. 항등원은 군 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}G의 모든 원소 svg.image?%5Cinline&space;%5Clarge&space;%5Cbg%7Bwhite%7Da에 대하여 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}Ia=aI=a를 만족시키는 군의 원소 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}I를 뜻해.

4. 군 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}G의 원소 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}a에 대하여 역원 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}a^{-1}이 존재하는데, 역원은 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}a^{-1}a=aa^{-1}=I를 만족시켜.


위 조건을 만족시키는 대수적 구조를 군이라 하는거지. 이 군은 물리학의 대칭성을 응용하는데 사용이 돼.


물리학에서 대칭성이란..?


대칭성은 시스템을 변환(공간 이동, 회전, 시간 경과)해도 변하지 않는 성질을 말해. 바로 예제로 들어가보자.



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위처럼 생긴 정삼각형 모양의 색종이를 생각해봐. 꼭짓점에는 1, 2, 3이라는 숫자가 써져 있고, 이 색종이의 뒷면은 회색이야.


이 색종이를 늘리거나 줄이지 않으면서 세 변의 위치가 변하지 않는 변환은 어떤 종류가 있을까? 일단 회전 시키는 것이 떠오르지?


그럼 변환을 원소로 하는 군을 만들어보자. 아까 군의 정의 네 가지를 기억해보고 기억 안 나면 군의 정의 네가지를 다시 봐봐.


각 조건을 만족시키도록 한 번 군을 만들어 볼께.


3번 조건: 일단 군의 정의에 따라 항등원 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}I가 포함되어야 해. 이 항등원은 색종이를 가만히 냅두는 변환일거야.

1번 조건: 120도 시계 반대 방향으로 돌리는 변환을 svg.image?%5Cinline&space;%5Clarge&space;%5Cbg%7Bwhite%7DC_3이라 하고 군의 원소로 넣어보자. 그러면 자기 자신을 두 번 곱한 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}C_3%20C_3=C_3^2도 반드시 같이 군에 포함이 되어야 해. 이것은 120도 반시계로 회전시키고 또 120도 반시계로 회전시키는 것을 의미해. 그리고 세 번 곱한 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}C_3^2%20C_3=C_3^3=I는 360도 회전이니까 항등원과 같아서 새롭게 추가해야 할 변환은 더 이상 없어.

4번 조건: svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}C_3의 역원은 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}C_3C_3^{-1}=I를 만족시키는 것이니까 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}C_3^{-1}=C_3^2라는 것을 알 수 있어. 이것의 의미는 120도 회전시킨 것을 되돌리는 변환은 240도 회전이라는 것이지. 그리고 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}I의 역원은 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}I^{-1}=I이야. 자 그럼 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}G=\{I, C_3, C_3^2\}을 군이라고 할 수 있겠지?

2번 조건: svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}G=\{I,%20C_3,%20C_3^2\}에서 원소끼리의 결합 법칙을 보여야 하는데 생략할게. 쉽게 보일 수 있어.


변환을 원소로 하는 군 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}G=\{I,%20C_3,%20C_3^2\}을 찾았어. 뿐만 아니라 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}G=\{I\}도 조건을 만족해서 이것 역시 군이 될 수 있어.


내가 찾은 군 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}G=\{I,%20C_3,%20C_3^2\}는 특별한 성질이 있는데, 이 군의 임의의 두 원소 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}a, svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}b에 대해 교환법칙 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}ab=ba이 성립해. 이러한 군을 특별히 아벨군(가환군)이라고 불러. 또 재밌는 성질이 있어. 이 군의 원소 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}C_3을 가지고 거듭제곱해서 만든 군을 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}\langle C_3 \rangle=\{C_3, C_3^2, C_3^3=I\} 이렇게 표현하는데, 이 군은 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}G와 같게 돼. 이렇게 어떤 원소를 거듭 제곱하여 만든 군을 순환군이라고 부르고 거듭제곱 당한 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}C_3은 생성원이라고 불러. 그리고 모든 순환군은 아벨군이 된다고 해.


그럼 군에 넣을 다른 변환은 없을까? 뒤집기가 있어. 아래를 봐라.



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svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}C_2, svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}C_2', svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}C_2''는 뒤집기라서 색종이 뒷면 회색이 보여. 이렇게 6개의 변환을 원소로 하는 군 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}G=\{I,%20C_3,%20C_3^2,%20C_2,%20C_2' data-nummark=도 가능해.


이 군은 교환법칙이 성립하지 않아. 아래 곱셈표를 봐라.



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svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}C_2C_3=C_2'인데 순서를 바꾸면 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}C_3C_2=C_2'' 로 다르지. 즉 교환법칙이 성립하지 않으니까 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}G=\{I,%20C_3,%20C_3^2,%20C_2,%20C_2%27,%20C_2%27%27\}는 아벨군이 아니야.


이러한 삼각형의 변환을 모은 군 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}D_3=\{I,%20C_3,%20C_3^2,%20C_2,%20C_2%27,%20C_2%27%27\}을 3차-이면군(Dihedral group) 이라고 불러.


이 군의 크기는 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}|D_3|=6 이고, 이 군의 부분군은 총 6개로 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}D_3, svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}\{I,%20C_3,%20C_3^2\}, svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}\{I,%20C_2\}, svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}\{I,%20C_2' data-nummark=, svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}\{I,%20C_2'' data-nummark=, svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}\{I\}이 있고 부분군의 표기는 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}\{I,%20C_3,%20C_3^2\}%3cD_3 처럼 부등호로 표현해.


이번엔 다른 군을 다뤄보자.


svg.image?%5Cinline&space;%5Clarge&space;%5Cbg%7Bwhite%7DA=\{1,2,3\}에 대하여 어떤 치환함수 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}\sigma:A\to&space;A에 대하여


svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}\sigma(1)=3,\sigma(2)=2,\sigma(3)=1 를


svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\\\end{pmatrix} 로 나타내자. 이것을 더 간단히 표현하여 1과 3은


svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}1\to&space;3\to&space;1\to&space;3\to\dots 으로 순환하고


2는 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}2\to&space;2\to&space;2\to\dots 이므로 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}\sigma=(1\;3) 으로 간단히 나타낸다.


간단히 나타낸 또 다른 예시로는 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}=(1\;3\;2) 처럼 치환을 간단히 표현할 수 있지. ( svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}1\to&space;3\to&space;2\to&space;1\to\dots )


이러한 치환들을 가지고 치환군 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}S_3=\{I,(1\;3\;2),(1\;2\;3),(2\;3),(1\;3),(1\;2)\}을 만들 수 있어.


이 군은 곱셈에 닫혀 있고 (예시) svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}(1\;3\;2)(2\;3)=(1\;2)


결합법칙이 성립하고 항등원이 존재하고 모든 원소는 각각의 역원이 존재함. (예시) svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}(1\;3\;2)^{-1}=(1\;2\;3)


따라서 군이 맞다. 보니까 군 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}S_3 은 방금 군 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}D_3 과 유사한 걸 알 수 있어.


여기서 사상(morphism)이라는 것을 알아야 해. 사상이란 함수와 비슷한 것인데 함수는 수와 수를 대응시키는 것이라면 사상은 군의 원소와 원소를 대응시키는 것이라고 생각하면 돼. 사상 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}\phi:S_3\to&space;D_3 의 대응 관계를 다음 그림과 같이 정의할 수 있어.



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위처럼 사상 svg.image?\inline&space;\bg{white}\phi 의 대응 관계를 정의하면


다음 조건을 만족하는 모든 원소 a, b에 대해서 svg.image?\inline&space;\bg{white}\forall&space;a,b\in&space;S_3,\phi(ab)=\phi(a)\phi(b) 가 성립해.


예를 들면 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}(1\;3\;2)(2\;3)=(1\;2)인데


svg.image?\inline&space;\bg{white}\phi((1\;3\;2))\phi((2\;3))=C_3C_2=C_2''이고 svg.image?\inline&space;\bg{white}\phi((1\;2))=C_2''이 성립하는 것을 확인할 수 있지. 즉 두 군은 겉보기만 다를 뿐 같은 구조를 가지고 있어.


즉 일대일 함수(one to one)이면서 공역과 치역이 같은(onto) 일대일 대응인 사상 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}\phi:S_3\to&space;D_3가


svg.image?\inline&space;\bg{white}\forall&space;a,b\in&space;S_3,\phi(ab)=\phi(a)\phi(b) 를 만족시키므로 svg.image?\inline&space;\bg{white}\phi을 동형사상(isomorphism)이라 부르고


동형사상이 존재하는 두 군 svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}S_3 , svg.image?\inline&space;\large&space;\bg{white}D_3는 서로 동형(isomorphic)이라고 해.


동형인 두 군은 구조적으로 동일하다고 봐. 그래서 복잡한 대수적 구조가 있을 때 이것과 동형인 잘 알려진 군을 찾으면 복잡한 대수 구조도 파악이 쉬워지지.


일대일 대응은 아니지만 svg.image?\inline&space;\bg{white}\forall&space;a,b\in&space;S_3,\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)를 만족하면 준동형사상(homomorphism)이라 하고 준동형사상이 존재하는 두 군은 서로 준동형(homomorphic)이라고 해. 준동형인 두 군은 구조적으로 동일하지는 않아.


다음 편은 행렬이야.



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