1. 운동량의 기원
운동량은 우리에게 p=mv로 잘 알려진 친숙한 물리량이다
그런데 운동량은 영어로 momentum인데, 왜 흔히 p라고 쓸까?
명확히 밝혀진 것은 없지만 역사적인 이유를 꼽기도 한다
과거에는 운동량의 개념을 임페투스 가설(Theory of Impetus)을 통해 설명했다
즉, 운동량의 기원이 impetus인 거다
impetus는 라틴어 in-과 petere의 합성어인데, 뒤쪽의 petere에서 p를 따왔다는 설이다
2. 뉴턴 역학의 운동량
뉴턴 제2 운동법칙은 다음과 같이 알려져 있다
사실 개인적으로 이런 표기를 썩 좋아하진 않는다. 오히려
의 형태가 뉴턴이 말하고자 했던 의미를 더 충실히 보여준다고 생각하기 때문이다
즉, 물체의 가속도는 가해진 힘의 합력에 비례하고, 물체의 질량에 반비례한다는 것이다
허나 이는 뉴턴이 프린키피아에서 적었던 것을 완전히 반영하지 못하는 식이다
그는 프린키피아에서 "운동상태의 변화는 가해진 힘에 비례하며, 변화의 방향은 가해진 힘의 방향과 동일하다"라고 서술했다
여기서 '운동상태'가 바로 우리가 알고 있는 운동량 p이다. 즉, 뉴턴의 제2 법칙의 정확한 꼴은
인 것이다. 만일 우리가 고려하는 계의 질량이 변하지 않는다면
로 우리가 익숙한 F=ma 꼴이 나옴을 확인할 수 있다
3. 라그랑주 역학에서의 운동량
라그랑주 역학과 뉴턴 역학의 차이는 물론 여럿 있지만
대표적인 차이점은 바로 사용하는 좌표계이다
뉴턴 역학은 우리에게 친숙한 데카르트 좌표계를 주로 사용한다
라그랑주 역학에서는 일반화 좌표계(generalized coordinates)를 사용한다
이름에서부터 알 수 있듯이, 일반화 좌표계는 데카르트 좌표계를 포함하는 훨씬 더 광범위한 도구다
계의 라그랑지언 L에 대해 일반화 운동량(generalized momentum)의 i번째 성분은 다음과 같다
이것이 뉴턴 역학의 운동량과 잘 조화가 될까? 확인해보자
고전역학의 라그랑지언은 L=T-V (T는 운동에너지, V는 퍼텐셜 에너지)로 주어진다
쉬운 예시로 자유낙하하는 물체를 살펴보자면, 물체가 땅으로부터 떨어진 거리를 x라고 할 때
로 주어진다. 그럼 여기에선 x가 유일한 일반화 좌표가 되고
로서 기존의 p=mv와 잘 부합함을 알 수 있다
이번에는 평평한 바닥에서 반지름 r인 원을 그리며 일정한 각속도 ω로 회전하는 물체를 생각해보자
물체의 선속도는 항상 v=rω로 주어지므로 물체가 회전한 각도를 θ라고 하면
가 된다. 여기서 일반화 좌표는 θ가 유일하므로
가 된다. 잘 보면 알겠지만, 뉴턴 역학에서 우리가 알고 있던 각운동량이 튀어나온다
이렇게 뉴턴역학에서 이미 정의되었던 다양한 운동량들을 유도할 수도 있지만
일반화 좌표계의 힘은 여기서 끝나지 않는다
일반화 좌표계는 문제 상황에 맞게 무궁무진한 방법으로 다르게 잡을 수 있고
그렇게 다르게 잡은 좌표계마다 해당하는 일반화 운동량도 다른 형태로 튀어나오게 된다
이러한 강력한 일반화 능력과 자유로움 때문에, 라그랑주 역학은 뉴턴 역학을 제치고 상대성이론과 양자역학에 이르는
현대물리학에서까지 여전히 현역으로 군림하고 있다
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