4. 상대성이론에서의 운동량
특수상대성이론에서의 운동량은 다음과 같은 꼴로 잘 알려져 있다.
물체의 이동 방향을 x축 방향으로 잡으면 v는 x방향으로의 속도, m은 물체의 질량, γ는 로렌츠 인자다.
이를 우리가 친숙한 형태인
의 형태로 바꿔 쓸 순 없을까?
첫 번째 방법은 상대속도에 따라 증가하는 '상대론적 질량'의 개념을 도입하는 것이다.
그러나 물리에 관심 많은 사람이라면 알겠지만, 이 상대론적 질량의 개념은 폐기된지 오래다. 이는 아인슈타인 본인 스스로도 인정한 부분. 가장 대표적인 문제로는 '잘못된 직관'을 줄 수 있는 가능성이다. 즉, 상대속도에 따라 '무엇인가 물질 내부의 변화가 일어나' 질량이 늘어난다고 잘못 해석할 수 있는 부분이 생기게 된다. 운동량과 에너지의 비고전적 증가는 시공간의 기하학에 의한 현상이지, 물질 내부의 변화와 연관된 것이 아니다.
그렇다면 다른 방법은 없을까? 여기서 4-vector의 개념을 도입하면 굉장히 깔끔한 식이 나온다.
4-vector는 간단히 말해서 4차원 벡터다.
뉴턴 역학은 3차원 공간만을 다루니 3차원 벡터로 운동을 표현했지만,
상대성이론은 4차원 시공간을 다루니 자연스레 4차원 벡터를 필요로 한다.
우선 뉴턴 역학에서 3차원 위치 벡터의 역할을 대신할 새로운 4-vector를 정의해야 한다.
위치 벡터를 알면 자연스레 속도 v=dx/dt와 운동량 p=mv를 얻어낼 수 있기 때문
이렇게 생긴 놈이 바로 4-position이다. 첨자 x^μ는 그냥 μ번째 성분이라고 생각하면 된다(μ=0, 1, 2, 3). 마치 a_i=(1, -2, 7)이라고 쓰면 i가 1, 2, 3일 때 성분이 각각 1, -2, 7인 벡터라고 알아먹을 수 있는 것처럼 말이다.
이때 4차원 속도 4-velocity는 다음과 같이 정의된다.
여기서 τ는 고유시간인데, 왜 t말고 τ를 갖고 정의했나 간단히 얘기하자면 고유시간은 관측자에 관계없이 항상 동일하게 측정되는 양이라 그렇다. 두 번째 등식은 시간지연 효과 t=γτ에서 온 것.
그럼 이제 4-momentum은 자연스럽게 정의된다.
이때 E=γmc^2을 사용했다.
사실 여기서 4-velocity와 4-mometum의 크기(norm)을 구하면 '모든 물체는 시공간 상에서 항상 광속으로 이동한다'와 '에너지-운동량 관계식'을 자연스럽게 도출해낼 수 있다. 그러나 설명이 너무 길어져 생략하기로 했다.
개추
딱 보니 감마엠브이 에서 감마엠 대신에 감마브이가 되기 때문에 질량은 어디서나 변함 없다는 논리를 펴는 듯 한데 근데 특상 이론에 따르자면 절대 시간이란 건 있을 수 없는 걸로 아는데 관찰자에 상관 없이 관측 되는 고유 시간이란 건 어디에서 도출 되는 시간인가요??
그렇기 때문에 질량은 변함 없다는게 아니고, 만약 질량이 상대속도에 따라 변한다고 한다면 골치 아픈 문제들이 많이 생기기 때문에 도입하지 않는 것이 바람직하다는 것임. 고유시간은 간단하게 얘기하자면 시계와 같은 관성계에 속한 사람이 관측한 그 시계의 시간임. 상대속도가 얼마든 간에 같은 관성계에 속한 사람의 입장에선 시간의 흐름은 바뀌지 않으니까. 좀 더 정확한 정의는 dτ=ds/c인데, ds는 4차원 시공간에서의 미소 거리, c는 광속임. ds와 c가 모두 로렌츠 변환에 대해 불면이므로, 자연스럽게 dτ 또한 불변이 되고, 그렇게 고유시간은 모두에게 동일하게 인식되는 물리량임