슈뢰딩거 파동방정식에서 "원자 내 전자의 양자화된 에너지 준위나 양자상태가 각각 다른 수의 마디를 지닌 정상파에 대응한다" 라고 가정 했다는데 /// 이게 무슨 의미인지 모르겠어요.
양자화된 에너지 준위가 마디 하나 하나에 대응된다
>>> 불연속적이다. 라고 이해하는게 맞나요??
너무 러프하게 이해돼서 자세한 설명이 듣고 싶습니다..
마디 하나하나 대응은 그렇다쳐도 정상파에 대응된다는건 무슨의미인지도 모르겠어요 ㅜ
양자화된 에너지 준위가 마디 하나 하나에 대응된다
>>> 불연속적이다. 라고 이해하는게 맞나요??
너무 러프하게 이해돼서 자세한 설명이 듣고 싶습니다..
마디 하나하나 대응은 그렇다쳐도 정상파에 대응된다는건 무슨의미인지도 모르겠어요 ㅜ
전자가 정상파에 대응된다는 말은 드 브로이 물질파에서 나온 개념입니다. 드 브로이 물질파 개념은 특수 상대성 이론에서 다뤄지는 4차원 벡터(four-vector)의 일종인 4차원 운동량(four-momentum)과 광전효과로부터 얻어진 관계식인데, 빛의 4차원 운동량을 3+1 차원 시공간에 대한 성분으로 나타내면, (E/c, p_x, p_y, p_z)
와 같이 표기할 수 있는데, 광전효과에서 맥스웰 방정식을 통해 전자기 파동으로 알려진 빛은 입자성 또한 띄고 있다는 사실이 밝혀졌습니다. 따라서 물질은 입자인 동시에 파동으로 바라볼 수 있는 것이 아닌가 하는 접근에서 시작된 것이 드 브로이 물질파 관계식인데, 빛은 정지 질량이 0인 입자로 빛의 에너지는 3차원 운동량과 비례하는 양이 됩니다.(E=pc)
그런데 빛의 에너지를 서술하는 식이 여기에 하나 더 있는데 그 식은 광전효과를 서술할 때 빛(광자)의 에너지는 그 진동수에 비례하다(E=hν)는 법칙입니다.
이 두 식을 합치면 E=hν=pc 가 되는데, 이를 잘 바꿔주면 hν/c=h/λ=p가 되는 것을 확인할 수 있습니다. 이것이 드 브로이 물질파 관계로, 입자를 동시에 파동의 속성을 띈다고 하였을때 그 운동량이 파장에 반비례한다는 뜻입니다.
파동함수는 ψ=Ae^i(kx-ωt)와 같이 서술되는데, 이를 위 드 브로이 물질파 관계식을 통해 다르게 표현하면, ψ=Ae^(i(p•x-Et)/ℏ)와 같이 표현할 수 있습니다.
슈뢰딩거 방정식은 위 파동함수에 연산을 취하여 비 상대론적인 근사를 하여 에너지를 기술하는 방정식입니다. 파동함수에 시간에 대한 편미분을 취하고 iℏ를 곱해주면
iℏ(∂/∂t)ψ=Eψ가 되어 기존의 파동함수에 연산자의 고유값으로 에너지가 곱해진 것을 확인할 수 있을 것입니다. 마찬가지로 3차원 공간에 대한 편미분을 취해주고 단위벡터를 곱하면 -iℏ∇ψ=pψ가 되어 기존의 파동함수에 연산자의 고유값으로 운동량 벡터가 곱하여진 것을 확인할 수 있습니다.
이를 통해 역학적 에너지(해밀토니안)의 고전적 근사 E=(p^2)/2m+V를 재현하면 Hψ=iℏ(∂/∂t)ψ=Eψ=[-((ℏ^2)/2m)(∇^2)+V]ψ와 같은 식을 만들 수 있고 이것이 슈뢰딩거 방정식입니다.
슈뢰딩거 방정식에서 전자의 에너지가 각각 다른 수의 마디를 가진 정상파에 대응한다는 말은 이런 배경에서 나온 것으로, 광전효과를 통해 확인할 수 있는 점은 문턱 진동수를 넘지 못한 진동수의 빛은 아무리 금속에 쬐어도 광전자를 내놓지 못한다는 점에서 입자가 가질 수 있는 에너지가 불연속적이라는 점을 확인할 수 있다는 것이고
수소 원자등 다른 원자 내의 전자에서도 마찬가지로 입자가 가질 수 있는 에너지는 불연속적이라는 뜻입니다. 에너지가 불연속적이면 슈뢰딩거 파동방정식을 만족하는 운동량 또한 불연속적인 값이 될 것이고, 이것이 각각 다른 수의 마디를 가지는 정상파=불연속적인 파장을 가진 전자가 뜻하는 바입니다. 충분한 설명이 되었으면 좋겠습니다.
덧붙여서 빛의 파장이 불연속적이라는 점은 원소들의 선 스펙트럼에서도 확인할 수 있는 바입니다.
압도적감사!!