불완전성정리의 쉬운 이해

[부기우(booogiu)]

부기우

완전론과 현대자연철학 개요.pdf

(위 개요는 전공자도 어려울 수 있으니 아래의 완전론부터 읽으시는걸 추천합니다)

완전론.pdf

현대자연철학(출판버전이아님).pdf

수체계차원론1-7.pdf

*완전론+현대자연철학+수체계차원론입니다. 읽어보시면 약 100년동안 물리학자들도 이해 못한 양자역학을 몇 시간이면 이해할 수 있을 겁니다.

불완전성정리는 간단히 무모순의 공리계로는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 있다는 것과 그 체계내의 무모순성을 증명할 수 없다라는

두가지 결론으로 이루어져 있습니다. 사실 굉장히 유명한 정리지만 괴델의 증명 자체가 굉장히 이해하기 어렵고 그 예도 찾기 어려운 면이

있어서 이번엔 누구나 이해하기 쉽게 설명을 해보려고 합니다. 먼저 모든 증명은 결국 A=A와 같은 공리의 동어반복이라고 볼 수 있습니다.

물론 완벽한 동어반복이라기 보다는 공리의 동어반복적 '하위개념'이라는 것이죠. 쉬운 물리학적 예시를 들자면 변화가 불연속이라는 공리가

있을 때 그 하위개념으로 증명될 수 있는 것이 바로 빛의 절대속도입니다. 그럼 결국 어떤 공리계에서 증명할 수 없는 명제란 무엇일까요?

그 공리계와 동어반복적 개념이 아니면서 참인 명제여야 합니다. 그렇다면 그 예시는 무엇일까요?

수학에서는 유클리드 공리계와 비유클리드 공리계가 있고 그래서 유클리드 공리계로는 증명할 수 없지만 비유클리드계로는 증명할 수 있는

명제가 있다면 그것이 적절한 예시가 될까요? 사실 비유클리드계로 어떤 명제가 참임을 증명을 했다고 하더라도 그 명제가 유클리드계에서까지

참이란 보장을 할 수가 없습니다. 즉, 유클리드계나 비유클리드계 모두에서 참이어야 불완전성 정리의 적절한 예시가 된다는 것이죠.

그렇다면 결국 가장 적절한 예시는 바로 변화가 연속일 경우 '시간이 상대적일 때 질량이 절대적이다.'란 명제가 상대론에서 참이고

그 대우가 반드시 참이므로 변화가 불연속일 경우 '질량이 상대적일 때 시간이 절대적이다.' 도 참이 되므로 이 예시가 바로

불완전성 정리의 가장 적절한 예시가 됩니다. 즉, 변화가 연속인 상대론으로는 증명할 수 없지만 분명히 참임이 보장된 명제가 있다는 것이죠.

물론 위의 유클리드와 비유클리드의 예에서도 이런 적절한 예시를 찾을 수 있을지 없을지 모르고 또 저는 생각나는게 없어서 일단 적지

못했습니다. 그런데 위의 예시의 문제는 결국 모순적인 관계를 가지는 명제가 모두 참이 된다는 겁니다.

전통적인 논리학에서는 모순율, 배중률, 동일률등으로 (공리의) 모순을 허용하지 않으므로 둘 중 하나는 반드시 틀려야 하는데

결국 제 설명에서는 이론적으로 둘 다 참이라는 것이 문제라는 것이죠. 그런데 저 대우명제도 결국 전통적인 논리학을 통한 결론입니다.

그런데 어떤 하위 차원의 모순은 상위차원에서 해결되는 경우가 있습니다. 따라서 이론적으로는 모두 참인 상위체계가 있어야 한다라는

결론이 도출 될 수 있습니다. 그러나 현상적인 하위체계에서는 둘 중 하나만 옳고 말이죠.

즉, 불완전성정리의 증명할 수 없지만 참인 명제가 있다는 것의 정확한 의미는 그 공리계의 차원보다 상위계인 차원이 있다는 것이죠.

사실 유클리드계와 비유클리드계는 평행성 공준 하나의 차이로 구분되고, 상대론과 양자역학은 연속의 변화와 불연속의 변화로만 구분됩니다.

그 외의 공리는 다 같다는 것이죠. 그럼 왜 그것만 다른 걸까요? 그 다른 공준이 바로 서로 같은 공리와는 차원이 더 낮은 하위개념이기 때문에

같을 수가 없는 겁니다. 쉽게 말해서 현상적이기 때문이죠. 그리고 결국 불완전성 정리의 그 체계내의 무모순성을 증명할 수 없다는 것도

위의 설명에 포함 되어 있는 것과 마찬가지므로 설명을 생략해도 될 것 같습니다(모순이 있다는 것이죠). 

결국 저는 5차원이 바로 이런 모순이 공존할 수 있는 체계라고 했습니다..

갈루아의 군론에서 5차 방정식의 일반해가 없는 것도 바로 5차원이 더 이상 일반적이게 만들 수 없는 체계이기 때문이고 말이죠.

* 아래의 난제들을 모두 이해하고 싶으면 위의 링크글을 읽으시면 됩니다.

1. 우주는 왜 또는 어떻게 존재하고 있는가? (빅뱅과 블랙홀 특이점 문제)

2. 우주의 차원은 몇차원인가?(우주의 차원이 정말 끈이론의 말대로 11차원인가?)

3. 변화는 연속인가 불연속인가?(제논의 역설, 미적분과 양밀스질량간극가설의 관계)

4. 중력은 왜 다른 힘들과 통합되지 못하고 있는가?(중력은 관성력으로 다른 힘들은 실제힘으로 설명되는데 어떻게 통합할 것인가?)

5. 우주는 유한한가 무한한가? 또는 영원불멸한가 소멸할 것인가?

6. 암흑에너지 암흑물질

7. 공간이란 무엇인가?

8. 비행기가 뜨는 양력의 원인은 무엇인가?

9. 상대론과 양자역학의 통합은 가능한 일인가?

10. 빛은 왜 절대속도인가?

[부기우(booogiu)]

요새 도배하는 놈이 있는데 제가 만든 방구석 철학자들의 모임 갤러리에도 철갤과 동시에 글을 써주시면 좋을것 같네요.