선수학습:
▣ 수리물리학의 기초: 수를 세어보자.
(https://gall.dcinside.com/board/view/?id=physicalscience&no=175636)
대한민국의
수리물리학 발전에
힘쓰겠습니다.
▣ 수리물리학의 기초(2):
무한을 나열하다.
박찬우
(신촌우왕)
서강대학교 물리학과 87학번
(부전공: 수학)
수학자
작곡가
요가수행자
프로그래머
Copyright 2022.03.08. (박찬우) all rights reserved.
무한(∞)이란 무엇일까?
사람들은 f(∞)라는 표현을 보면
기겁을 한다.
마치 못 볼 것을 본 것처럼...
0/0 꼴이니,
∞/∞ 꼴이니,
이런 패턴을
인지하려면
분명히 대입해보았으리라.
그러면서도
대입해보지 않은 것처럼,
혹은
대입하면 안되는 것처럼
정색을 한다.
x→3이면
2x-1→5이다.
대입해보지 않은 사람 손들어봐.
솔직히 인정할 건 인정하자.
대입해보는 것 다 안다.
x→3에 대해
2x-1의 극한값이 무엇일지 고민하는 과정에서
분명히 대입해보고
5일 것이라 인지한 후,
다음과 같이
토목기사 코시가 제안한
극한값의 형식화된 엡실론-델타 논법을 작성한다.
임의의 양수 ε에 대해
다음을 만족하는
양수 δ가 존재한다.
0 ＜ ｜x-3｜ < δ 이면 ｜(2x-1) - 5｜ < ε
이것을
다음과 표현한다.
물어보자.
0 ＜ ｜x-3｜ < δ 이면 ｜(2x-1) - 5｜ < ε에서
5가 어디서 나왔냐?
3은 분명히
x→3에서 나왔으리라.
그렇다면
5는
도대체 어디에서 나타난 것이냐?
갑자기
하늘에서 떨어졌냐?
땅에서 솟아났냐?
분명 x→3을 보자 마자
2x-1에
x=3을 대입해보았을 것이고
5를 만났을 것이다.
분명 x→3을 보자 마자
x가 보이면 x 대신 3을 대입해보려 시도한다.
이것이 인간이다.
그런데
어떤 사람들은
대입을 안해본 것처럼 주장하려 한다.
그렇다면
그런 자들은
신이라 불려도 좋다.
◆◆◆◆◆◆
마찬가지이다.
왜 f(∞)는 안되고
lim를 동원해서 표현해야만 한다고 생각을 할까?
정 못받아들이겠다면
다음과 같이
생략된 표현이라고 생각하면 될 것을...
∞를 대입해보고 있으면서
대입을 안해본 것처럼
이중성을 보이지 말자.
후자인 ∑(시그마) 관련하여
인정하고 그렇게 관습적으로 받아들이고 있다면,
전자인 f(∞)라고 안될 이유가 없다.
바로 이해하는 자는
좌변 f(∞)를 사용하면 될 것이고,
형식을 중히 여기는 자는
우변을 사용하면 될 일이다.
우리가
3을 대하는 태도와
∞를 대하는 태도에서
공통점과 차이점을
명백히 인지하고,
잘 사용하면 될 일이다.
무한번째 항
f(∞)에는
아무런 문제가 없다.
유한수열에서는
첫번째 항, 즉 제1항,
두번째 항, 즉 제2항,
세번째 항, 즉 제3항이
있듯이
무한수열에서는
유한수열에는 없는
무한번째 항,
즉 제∞항이 있다.
무한수열...
무한수열에는
마지막 항, 즉 말항이 없는 것이 아니라
무한번째 항, 즉 제∞항이 말항이다.
항을 무한히 나열할 때
무한번째 항이라는 개념을
이제 받아들일 준비를 해야만 한다.
f(∞)는
n→∞일 때, 일반항 f(n)의 극한값을 의미하는 동시에
일반항 f(n)의 무한번째 항을 의미한다.
수열에서
제n항이 f(n)이므로
제∞항은 f(∞) 이다.
이것을 활용하여
1 = 0.999…임을
간단히 증명하였다.
참조:
1 = 0.999…의 경이로운 증명 방법
(https://gall.dcinside.com/board/view/?id=physicalscience&no=175628)
항이 3개인 유한수열은
제3항이 말항이듯이,
항이 무한개인 무한수열은
제∞항이 말항이다.
좌변의 일반항과
우변의 각각의 항에 대해
살펴보면,
제∞항의 경우
다음과 같이 두 가지 표현이 가능하다.
(나는 분명히 제∞항을 말항으로 나열하고 있다.)
위와 같이
무한수열에서
무한번째 항이
말항이다.
무한수열은
말항이 존재하지 않는다는
기존의 개념을 과감히 버리자.
과감히
제∞항을
무한수열의
말항으로
나열하자.
극한
무한은
끝이 없는 것을 의미하는 것이 아니다.
극한이
무한의 끝이다.
만약 무한이 끝이 없다면
x→∞에 대한 f(x)의 극한값은
구할 수 없어야 한다.
x→∞에 대한 f(x)의 극한값을 구할 수 있는 이유는
무한 또한 그것의 끝 극한이 존재하기 때문이다.
무한의 끝을
이름하여
극한이라 한다.
제∞항을
나열할 수 있다면
그대는 센스쟁이!!!
대입 안해봤는데? 대입이 안되는데 inf를 왜 대입함? 혼자 우기는건 제발 니 일기장에 - dc App
x→1일 때, 2x-1→? 대입 안해본다고? --- x→∞일 때, 2x-1→? 대입 안해본다고?
니가 그렇다고 남도 그럴거란 착각을 하지 말자 위의 것은 다항함수는 연속이란 것에서 기인하는 분명히 논리적인 풀이고 밑에것은 전혀 아닌데 왜 너혼자 멍청한 소리 하는지 이해할 수가 없다 - dc App
다르게 보이는 것을 같게 보는 관점을 창조적인 관점이라고 하는 것임. a≠b이지만 f(a)=f(b)인 f를 생각하는 것임. --- 기존 관습을 유지할 필요가 있다면 유지하면 되는 것이고 새로운 관점을 받아들일 수 있다면 받아들이면 되는 것이고...
ㅇㅇ(106.101) --- 니가 아니라고 주장한다고 해서 다른 사람도 아니라고 할거란 착각도 하면 안되지.
1. 학계에서 표준적으로 인정하는 관점을 냅두고 "니가" 멋대로 다른 관점을 "강요하는 중"인데 그걸 왜 내 탓을 하냐? 완전 성범죄자식 논린데 ㅋㅋㅋ 치마를 짧게 입은 쟤 탓이라니까 그치? ㅋㅋㅋ - dc App
2.걍 대입이란 말만 쓰면 정의가 끝나냐? 기존 이론과 충분히 합치하게 만들어야 그걸 받아들이든 말든 하지 예를 들어 measure theory 등에선 inf와 -inf까지 추가하여 논리를 전개하는 extended real number등을 쓰기도 함 이런게 문제가 없는 이유는 충분히 엄밀하며 기존 이론과 마찰 없이 잘 작동하기 때문 - dc App
뭐 눈에는 뭐만 보인다더니 너 혹시 성범죄자냐? 아니면 그런 표현을 쓰지 말거라. 성폭력에 대한 너의 비유는 니가 하고 다니는 짓에 비유하는 것으로 끝내거라.
걍 논리수준이 내 관점을 못 받아들이는 니네가 문제인거임이라 그거 성범죄자들이 그렇게 말하는거 알지? 라는 말을 했을뿐인데 무슨 문제라도? 찔리는거라도 있는지 인신공격 강하게 하네? ㅋㅋ - dc App
대입해봐서 패턴을 확인하는 것이 기존 이론과 합치되지 않음을 증명해보라.
니가 니 관점을 받아들이라고 주장하는 건데 그걸 내가 굳이? ㅋㅋ 뭐 굳이 반박을 당하고 싶어하니까 해줌 lim n/2n 됐냐? ㅋㅋ 성범죄자식 논리 어디 안가구연 - dc App
니가 찔리는 게 있는 것 같은데? 아니면 니가 뭔가 잘못 알고 있든지... 제대로 따져 보고 싶다면 익명성 뒤에 숨지 말고 나와. 그러면 제대로 상대해줄테니까... 성폭력이라는 것을 가져와서 설명할 필요가 없는 것을 굳이 가져오는 것은 너에게 뭔가 문제가 있음이다.
수갤에선 이미 털릴만큼 털려서 물갤에서 이미지 세탁하나본데 수갤 물갤 둘 다 하는 놈들 많다 ㅎ 요가수련원에서 성폭행으로 징계받은건 분명하게 너구요! 난 여자친구 멀쩡하게 있는데 뭐하러 굳이 좆될짓을 하겠나요? "너처럼" ㅋㅋ - dc App
ㅇㅇ(106.101)---야! 야!니가 그게 옳다고 믿고 까불고 싶다면익명성 뒤에 숨지 말고 나와봐.그게 사실이고 공익을 위해서 나불거리는 것이면 처벌 안하니까...그러나 니가 말하는 게 거짓이면 처벌 받아.자신 없으면 범죄자 되고 나서 후회하지 말고 나대지 말고 조용히 있든가... 꼭 익명성 뒤에 숨어서 거짓말을 퍼뜨리고 다녀.너도 IP 조회하면 외국 나오는 놈이더냐?
아니 니가 징계받은건 니가 직접 여기저기 퍼트리고 다녀서 안거구요 그걸 왜 나한테 그러세요 ㅋㅋ 아니면 요가연수원이랑 관계 없는걸 보이든가 왜 자꾸 남한테 뒤집어 씌우지?? 진짜 성범죄자 논리랑 똑같네 진짜인가봄; - dc App
ㅇㅇ(106.101) "아니 니가 징계받은건 니가 직접 여기저기 퍼트리고 다녀서 안거구요" --- 내가 여기 저기 퍼뜨리고 다닌 적 없는데? 니가 나를 성범죄자라고 판단하는 근거가 뭔데? 진실이 뭔지 사실관계가 뭔지 관계 기관에 파악해본 적 있음? 알고 싶다면 검찰청에서 만나. 신청해서 허가해주면 관련 서류 떼어줄테니... 대신 넌 신분확인되면 이 글에 대한 명예훼손 책임을 져야해.
아니면 아닌거지 왜 이리 발악함 ㅋㅋ 정 허위사실에 의한 모욕이라 참을 수 없으면 고소하든가 그건 그렇고 왜 이리 말을 돌려 니 관점이 관점이라 부르기도 민망한 망상 수준 논리란건 반박 못하나봄? ㅋㅋㅋ - dc App
ㅇㅇ(106.101) --- 니가 허위사실 퍼뜨리며 발악을 해놓고 헛소리냐? 무논리 그만 전개하라. 아무 진전도 없는 댓글 달지 말고...
아니 근데 개웃기네 ㅋㅋㅋㅋ 그렇게 자신 있으면서 그 관련된 진실들을 니가 올려서 앞으로 오해없게 하면 되는거 아니냐? ㅋㅋㅋㅋ - dc App
아니 니가 성범죄자든 말든 사실 그게 학문적 성과랑은 연관이 없으니 무시하고 lim n/2n은 어떻게 설명할거냐니까 왜 말을 돌려 ㅋㅋㅋ 뭐 찔리는거라도 있음? 아니면 아닌거지 미안! 이라는데 왜 이리 뿔이 났을까 ㅋㅋㅋ - dc App
ㅇㅇ(106.101) --- 타인의 명예를 훼손하고 싶다면 일단 관계 기관에 사실관계를 확인하고 나서 글을 쓰는 것이 공익이라는 확신이 들 때... 그때 글을 쓰거라. 글을 쓰려면 그렇게 할 책임이 너 자신에게 있으니...
아니 어쩌라고 ㅋㅋ 니 말 그대로 말에 대한 책임을 지라니까 lim n/2n은 어쩔거냐고 ㅋㅋㅋ 니가 성범죄자인게 중요한가?(x) 니가 말도 안되는 소리를 자꾸 하는데 그게 마치 범죄자들이 자신을 옹호할 때 논리와 유사한가?(o)라니까 왜 자꾸 널 범죄자 취급한다고 해 ㅋㅋ - dc App
ㅇㅇ(106.101) --- 너 같은 애가 유치한 소리 하며 lim n/2n 물어보면 대답해줄 것 같냐? 마음이 비뚤어지면 그 사람이 하는 말은 거짓도 거짓이고 진실도 거짓이다. 마음을 곱게 먹으면 진실도 진실이고 거짓도 진실이다. 그 이치를 네가 깨우치지 못할 것이니 앞으로도 너는 이렇게 살아갈 것이다. 그것이 너의 불행이다.
해석) 인신공격도 논리도 개털려서 반박은 못하겠으니 궤변으로 날 보호하겠다 네 논리수준 잘 봤구요 ^^... - dc App
ㅇㅇ(106.101) --- 너의 됨됨이를 확인했으니 그것으로 성공이다. 앞으로 ㅇㅇ(106.101)으로는 상대 안해줄테니 상대 받고 싶다면 또 다른 아이피로 바꿔서 들어오너라.
개털렸단거 인정한거네? ㅋㅋ - dc App
ㅇㅇ(106.101) --- 니가 털린 것이지. 너 거짓 퍼뜨리는 거 확인된거잖아.
아 왜 번갈아가면서 지랄이야 기동타격대냐 글 하나에서만 지랄해라 좀 ㅋㅋ - dc App
ㅇㅇ(106.101) --- 야! 바른 말, 고운 말 하고 사는게 그렇게 힘드냐? 욕한 거 다 결국은 니가 먹는 것이다.