대한민국의

수리물리학 발전에

힘쓰겠습니다.


▣ 수리물리학의 기초(4):

Epsilon-Delta Definition


박찬우

(신촌우왕)


서강대학교 물리학과 87학번

(부전공: 수학)


수학자

작곡가

요가수행자

프로그래머


Copyright 2022.03.08. (박찬우) all rights reserved.




뉴턴과 라이프니츠에 의해

미적분이 발견되고 애용되었으나

극한에 대한 엄밀한 정의는 약 100년이 지나 코시에 의해 이루어졌다.


코시는 어떻게 ε-δ(엡실론-델타) 논법을 생각해냈을까?

코시는 토목기사로 일하면서 수학을 연구하였다.


나는 토목기사로서의 코시가 그 경험을 살려

극한의 ε-δ(엡실론-델타) 논법을 발전시켰다고 상상하여 이야기를 전개하고자 한다.


토목기사 코시


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요즘에는

수직 수평 레이저 레벨기가

건축 현상에서 많이 사용된다.


토목기사로서

코시

또한

이와 유사한 역할을 하는 레벨기를 알고 있었을 것으로 추정된다.


수학자로서

코시는

이와 같은 경험을 바탕으로

극한의 엡실론-델타 논법을

만들어내지 않았을까 상상해본다.



벽돌을 쌓거나

문짝을 달거나

레벨기를 사용한다.


Y 쪽에 있는 빨강색 선이

내가 정한 곳(L)이라고 하자.


L에서 벗어나면 오류이다.


오류가 너무 크면

미관 상 좋지 않거나

벽돌이 붕괴될 수도 있다.


따라서

움직이는 레이저선 f(x)를

L에 가깝도록 맞추려고 노력한다.


즉 가능한 둘 사이의 거리가 가깝도록 하려한다.

둘 사이의 차이를 ｜f(x) - L｜이라 하면

내가 임의로 정한 오차 ε (error)보다 작기를 원한다.

(정확하게 맞추기는 불가능하므로 이 정도의 오류 이내는 감수한다.)

｜f(x) - L｜< ε


이를 위해

X 쪽에서 조절을 해서 그렇게 되도록 찾아내야 한다.

X 쪽에서 살짝만 잘못해도 Y 쪽에서 큰 차이가 벌어진다.


Y 쪽 빨강색 선에 일치하도록 하는 X 쪽의 가상의 곳을 a라 하자.

좌우로 살짝 움직이는 값 x와 a의 차이를 ｜x - a｜라 하면

그 거리가 δ 보다 작게 하여, Y 쪽에서 원하는 정도에 맞춰줄 수 있으면 된다.

0 <｜x - a｜< δ


가상의 a이기 때문에

x를 아무리 움직여도

가상의 a에 일치시켰다는 보장을 결코 할 수 없다.

0 <｜x - a｜인 이유이다.


이것이

극한의 ε-δ(엡실론-델타) 논법이 어떻게 탄생했을 지에 대한

대략의 상상이다.


Y 쪽에 있는 사람이 먼저 그쪽 상황을 보고

X 쪽에 있는 사람에게 신호를 준다.


X 쪽에서는

Y 쪽에서 설정한 오차 범위 내에 들도록

위치를 찾아내야 한다.


과정은 Y 쪽 ε을 설정하면서 시작되나

레벨기의 시작과 끝은

X 쪽에서 시작하여 Y 쪽에서 끝난다.


그래서

기술할 때는

다음과 같은 순서로 기술한다.

0 <｜x - a｜< δ 이면 ｜f(x) - L｜< ε


Y 쪽에서 ε을 재설정할 경우

X 쪽에서 δ를 다시 찾으면 된다.


즉

δ는 ε에 따라 변한다.


이상의 내용을

이제 수학적으로 잘 기술하면 된다.




극한의 ε-δ(엡실론-델타) 논법


즉

위의 토목 기술을

수학에 적용하여

다음과 같이 기술한다.


임의의 양수 ε에 대하여

다음을 만족하는 적당한 양수 δ를 찾을 수 있다.

0 <｜x - a｜< δ 이면 ｜f(x) - L｜< ε


이때

위의 상황을 다음과 같은 기호로 나타낸다.

21b4dd2ff19c32b6699fe8b115ef046486bf08




극한의 ε-δ(엡실론-델타) 논법은

처음엔 어렵게 느껴지기도 하고

왜 그렇게 기술되어야 하는 것인 지 의문스럽기도 해서,

다른 관점에서 쉽게 이해할 수 있도록

재구성해보았다.


극한의 ε-δ(엡실론-델타) 논법의 이해에

도움이 되었기를 바란다.