▣ 수리물리학의 기초(5):
바젤 문제(Basel Problem)
1650년, 다음과 같은 문제가 제기되었다.
이후 80여년 동안 많은 수학자들이 도전했지만 풀 수 없었다.
1735년, 오일러가 이 문제를 해결하였다.
원주율 수열
여기에서는 원주율을 구하는 수열
즉 원주율 수열을 이용하여
바젤 문제를 해결해보자.
다음과 같이
반지름이 r=1인
반원을 생각하자.
r=1인 경우
원의 면적 = πr^2 = π
즉
반지름 r=1인
원의 면적이
원주율이다.
삼각형의 경우
두 변의 길이 a, b와
끼인각이 θ일 때
면적은 다음과 같다.
S = absinθ / 2
①
삼각형 OXY의 면적 = 1×1sinπ/2 / 2
원의 면적 근사 = 4 × sinπ/2 / 2 = 2sinπ/2 = PI(1)
②
삼각형 OXP의 면적 = 1×1sinπ/4 / 2
원의 면적 근사 = 8 × sinπ/4 / 2 = 4sinπ/4 = PI(2)
③
위와 같은 방법에 의해
원의 면적 근사 일반항 = PI(n) = 2^n sin(π/2^n)
n이 커질수록
PI(n)은
원의 면적 π에 다가가므로
극한값을 생각해볼 수 있다.
이것을 '원주율 수열'이라 명명한다.
마이크로소프트 엑셀을 이용하여 값을 구해보았다.
원주율 수열이 어떻게 원주율에 접근하는 지 볼 수 있다.
lim (x→0) sin(ax)/x = a를 고려하면
원주율 수열을 이용하여 다음과 같은 변형을 얻을 수 있다.
분모에 나타난 1/sin^2 (x) 꼴의 변형에
많이 사용하는 기법은 다음과 같다.
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일반화
x = π/2 일때
sin^2 (x) = 1이므로
모든 자연수
n에 대하여
다음이 성립한다.
분모에 있는 sin의 패턴을 고려하여
변형하면 다음을 얻을 수 있다.
위의 좌변은
모든 자연수 n에 대해 성립해야 하므로
더하는 항의 개수를 계속 늘려가도 성립해야 한다.
즉 무한대 항의 합(무한급수)을 생각할 수 있다.
그런데
lim(x→0) x/six(ax) = 1/a 이므로
안녕하세요 68년생 틀딱 사이비 유사 수학자 신촌우엉님
87년생이 아니라 87학번이라고??? 생각보다 더 심각한 사람이었넼ㅋㅋ
이분도 이상한 사람인가본데 그래도 문제풀이과정 쓴 글이라 나쁘진 않네요.
감명깊게 잘 읽었습니다. - dc App