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▣ 수리물리학의 기초(4): Epsilon-Delta Definition

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대한민국의

수리물리학 발전에

힘쓰겠습니다.

◈ 코시의

ε-δ(엡실론-델타) 논법 단점


박찬우

(신촌우왕)


서강대학교 물리학과 87학번

(부전공: 수학)


수학자

작곡가

요가수행자

프로그래머


Copyright 2022.03.08. (박찬우) all rights reserved.




극한의 ε-δ(엡실론-델타) 논법


코시의

극한에 관한 ε-δ(엡실론-델타) 논법을 들여다 보면

한 가지 의문 사항이 들게 된다.


자세히 들여다 보자.


임의의 양수 ε에 대하여

다음을 만족하는 적당한 양수 δ가 존재한다.

0 <｜x - a｜< δ 이면 ｜f(x) - L｜< ε


이때

위의 상황을 다음과 같은 기호로 나타낸다.

21b4dd2ff19c32b6699fe8b115ef046486bf08


이것이 극한의 엄밀성을 확립한

소위

코시의

ε-δ(엡실론-델타) 논법이라는 것인데...





L 값은 어찌 알았을까?



21b4dd2ff19c32b6699fe8b115ef046486bf08



ε-δ(엡실론-델타) 논법에서

L 값을 미리 알고 있어야 한다.


ε-δ(엡실론-델타) 논법은

L 값을 구하는 것이 아니라

δ가 존재함을 보이는 것이다.


그리하여

다음을 이용하게 된다.


임의의 양수 ε에 대하여

다음을 만족하는 적당한 양수 δ가 존재한다.

0 <｜x - a｜< δ 이면 ｜f(x) - L｜< ε


따라서

문제가 뭐냐하면

L 값을 어떻게 미리 알고 있었느냐 하는 것이다.


즉

코시의

ε-δ(엡실론-델타) 논법은

L 값을 구하는데 아무런 도움도 되지 않는다.


L 값을 다른 방법을 통해 미리 구한 후,

δ를 찾기 위해

형식적 증명을 따로 보이고 있는 셈이다.


L 값을 구하는 기술과

δ를 찾는 기술이

따로 필요한 셈이다.





엄밀하게는

L 값이 어떻게 나왔는 지 보인 후,

ε-δ(엡실론-델타) 논법을 통해

δ의 존재성을 보이는 과정을 밟아주어야

제대로 된 과정이라고 할 수 있겠다.


ε-δ(엡실론-델타) 논법은

전자와 후자의 어우러짐이 필요한데

후자에 치우치는 경향이 많은 듯 하다.


lim x->a f(x) = L임을 증명하시오... 라면
극한값이 L임을 무슨 수로 확신을 할 수 있을까?


L이 아니라 실제로는 M일 수도 있는데...


질문이 맞다는 가정 하에, 그것을 믿고 델타를 찾아보는 것에 불과함.


따라서 좌변을 통해서 먼저 L을 구한 후
엡실론-델타 논법을 거치는 것이 좀 더 완벽한 형식적 증명이 되는 것임.


- 신촌우왕