1/x에 대한 접근



자연수 x에 대하여

1/x의 소수점 아래 n번째 자리의 숫자를

임시 숫자 g(n)으로 나타내면 다음과 같다.


∴ g(n) = <q(f(n), x)>


f(n)은 다음과 같이 정의된다.

f(1) = 10

f(n) = 10×r(f(n-1), x)

(n≥2)


단

q(b, a)는 b를 a로 나눈 몫,

r(b, a)는 b를 a로 나눈 나머지이다.





1/1



x = 1인 경우이다.


따라서

g(n) = <q(f(n), 1)> = <f(n)>이다.


f(1) = 10 이고

정수를 1로 나눈 나머지는 0이므로

f(n) = 10×r(f(n-1), 1) = 10×0 = 0


즉, f(n)의 경우 2번째 항부터는 모두 0이다.


이제

1/1의 소수점 아래 숫자들을 구해보자.


1/1의 소수 첫째 자리: g(1)

g(1) = <q(f(1), 1)]> = <q(10, 1)> = <10>


1/1의 소수 둘째 자리: g(2)

g(2) = <q(f(2), 10)> = <q(0, 10)> = 0


1/1의 소수 세째 자리: g(3)

g(3) = <q(f(3), 10)> = <q(0, 10)> = 0


1/1 = 0.<10>000…


소수 첫째 자리에 임시 숫자 <10>이 존재한다.

<> 안에 0부터 9까지의 숫자가 오도록 해야 한다.


1/1 = 1 = 0.<10>000…에 대하여

임시 소수가 아니라

진정한 소수로 고치는 것은

다음을 참조하기 바란다.


참고: 1을 0.XXX… 형식의 소수점으로 나타내는 새로운 방법

https://gall.dcinside.com/board/view/?id=physicalscience&no=182066


1/1 = 0.<10>000… = 0.999…





1/2



x = 2인 경우이다.


따라서

g(n) = <q(f(n), 2)>이다.


f(1) = 10 이고

f(n) = 10×r(f(n-1), 2)


이제

1/2의 소수점 아래 숫자들을 구해보자.


1/2의 소수 첫째 자리: g(1)

g(1) = <q(f(1), 2)> = <q(10, 2)> = <5> = 5


1/2의 소수 둘째 자리: g(2)

g(2) = <q(f(2), 2)>


그런데

f(2) = 10×r(f(1), 2) = 10×r(10, 2) = 10×0 = 0 이므로

g(2) = <q(f(2), 2)> = <q(0, 2)> = <0> = 0


1/2의 소수 세째 자리: g(3)

g(3) = <q(f(3), 2)>


그런데

f(3) = 10×r(f(2), 2) = 10×r(0, 2) = 10×0 = 0 이므로

g(3) = <q(f(3), 2)> = <q(0, 2)> = <0> = 0


1/2 = 0.500…





1/7


x = 7인 경우이다.


따라서

g(n) = <q(f(n), 7)>이다.


f(1) = 10이고

f(n) = 10×r(f(n-1), 7)


이제

1/7의 소수점 아래 숫자들을 구해보자.


1/7의 소수 첫째 자리: g(1)

g(1) = <q(f(1), 7)> = <q(10, 7)> = <1> = 1


1/7의 소수 둘째 자리: g(2)

g(2) = <q(f(2), 7)>


그런데

f(2) = 10×r(f(1), 7) = 10×r(10, 7) = 10×3 = 30 이므로

g(2) = <q(f(2), 7)> = <q(30, 7)> = <4> = 4


1/7의 소수 세째 자리: g(3)

g(3) = <q(f(3), 7)>


그런데

f(3) = 10×r(f(2), 7) = 10×r(30, 7) = 10×2 = 20 이므로

g(3) = <q(f(3), 7)> = <q(20, 7)> = <2> = 2


1/7의 소수 네째 자리: g(4)

g(4) = <q(f(4), 7)>


그런데

f(4) = 10×r(f(3), 7) = 10×r(20, 7) = 10×6 = 60 이므로

g(4) = <q(f(4), 7)> = <q(60, 7)> = <8> = 8


1/7 = 0.1428…